Neue Begründung der arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen einer Variablen. (Q1465853)

In der ursprünglichen Theorie von Hensel-Landsberg war die Reihenentwicklung an regulären und, singulären Stellen aus der Funktionentheorie entnommen, und erst hierauf baute sich die arithmetische Theorie auf. In der vorliegenden Note wird in genauer Analogie mit der arithmetischen Begründung der \(p\)- adischen und \(\pi\)-adischen Zahlen (Math. Zeitschr. 2) die Reihenentwicklung arithmetisch begründet. Es wird vorerst zu einem transzendenten Erweiterungskörper \(K({\mathfrak p})\) übergegangen, gebildet aus allen Potent reihen in \((z-a)\) mit höchstens endlich vielen negativen Potenzen. Hier zerfällt die ursprünglich den algebraischen Körper definierende Primfunktion \(f (u, z)\) in ein Produkt verschiedener Primfunktionen, was der Zerlegung von \((z-a)\) in ein Produkt von verschiedenen Primäridealen entspricht. Hier durch geht der Restklassenkörper nach \(f (u, z)\) in einen Ring über, der sich als direkte Summe von endlich vielen Ringen darstellen läßt, die zugleich als Restklassensysteme von Primfunktionen Körper werden. In einem solchen neuen Körper lassen sich immer Primfunktionen \(\pi\) angeben, die in bezug auf \(K({\mathfrak p})\) einer reinen Gleichung genügen, -- was der Darstellung eines primären Ideals als Potenz eines Primideals entspricht --. Mit der Reihenentwicklung nach positiven und höchstens endlich vielen negativen Potenzen von \(\pi\) ist das gewünschte Ziel erreicht. Es sei bemerkt, daß\ diese algebraische Erweiterung erheblich einfacher ist, als im Falle der algebraischen Zahlen, was durch das Fehlen von Trägheits- und höherem Verzweigungskörper bedingt ist.