On the coefficients in the expansion of certain modular functions. (Q1465873)

Die Verf. haben schon früher Entwicklungen für zahlentheoretische Funktionen, die sich als Koeffizienten in der Entwicklung von elliptischen Modulfunktionen nach Potenzen von \(q = e^{\pi i \tau}\) darstellen lassen, mit einer neuen Methode abgeleitet. Die Hauptschwierigkeit hierbei -- die Untersuchung der Konvergenz der Entwicklung und ihres Übereinstimmens mit der Funktion -- tritt bei dem jetzt behandelten Beispiel nicht auf; es verlangt kein zahlentheoretisches Interesse, soll vielmehr die Methode beleuchten. Mit Hilfe einer geometrischen Untersuchung, bei der die ``Fareyreihe'' vorkommt, wird eine Partialbruchzerlegung für die in \(| q| < 1\) meromorphe Funktion \(f(q) = \varphi (t)\) gewonnen, wenn sie mit einem positiven \(n\) bei \(ad - bc = 1\) \[ \varphi (\tau) = (a + b\tau)^n \varphi \left(\frac {c +d\tau}{a +b\tau}\right) \] erfüllt. Die Anwendung auf \[ f(q) = \frac{\pi^6}{261\omega_1^6g_3} =\left(1-504\sum_{r =1}^\infty \frac{r^5q^{2r}}{1-q^{2r}}\right)^{-1} =\sum_{n =0}^\infty p_n q^{2n} \] liefert eine so gut konvergente Reihe für \(p_n,\) daß\ z. B. die 33stellige Zahl \(p_{12}\) durch die ersten drei Reihenglieder mit einem Fehler \(< 0,15\) angegeben wird.