Singuläre Systeme linearer Volterrascher Integralgleichungen. (Q1465897)

Das System linearer Volterrascher Integralgleichungen: \[ (1) \quad \int_0^x \sum_{\beta =1}^m X_{\alpha\beta}(x,y)\varphi_\beta (y)dy = f_\alpha (x) \;(\alpha =1,2,\dots,m) \] wird unter gewissen Voraussetzungen durch Differentiation und nachherige Umformung m das folgende System linearer Volterrascher Integrodiffernialgleichengen übergeführt: \[ \begin{multlined} (2) \quad x^{k +1} \frac{d\varphi_\alpha(x)}{dx} =\sum_{\beta =1}^m P_{\alpha\beta}(x)\varphi_\beta(x) +\int_0^x \sum_{\beta =1}^m Q_{\alpha\beta}(x,y)\varphi_\beta(y)dy\\ +R_\alpha(x)(\alpha =1,2,\dots, m).\end{multlined} \] Dabei soll \(k\) eine ganze, nicht negative Zahl, die \(P_{\alpha\beta}(x), Q_{\alpha \beta}(x, y), R_\alpha (x)\) sollen am Nullpunkt reguläre Potenzreihen sein. Zuerst wird die homogene Gleichung (2) betrachtet, wo also \(R_\alpha (x)\) identisch verschwindet. Diese wird durch gewisse Reihen der Form \[ \varphi_\alpha(x) =e^{-\vartheta(x)}\left(\sum_{n =0}^\infty A_{\alpha n}x^{r +n}\right), \] wobei \(\vartheta (x)\) ein Polynom \(k\)-ten Grades von \( \frac 1x\) ist, formal befriedigt. Setzt man dann \[ \varphi_\alpha(x) =e^{-\vartheta(x)}\left(\sum_{n =0}^{j- 1}A_{\alpha n} x^{r +n}\right) +\psi_\alpha(x), \] wobei \(j\) so gewählt sein soll, daß\ \(r + j > 0\) ist, so entsteht ein neues System von Integrodifferentialgleichungen mit den Unbekannten \(\psi_\alpha (x).\) Dieses wird mit Hilfe einer Laplace'schen Transformation in ein anderes System übergeführt, das sich mit Hilfe von konvergenten Potenzreihen integrieren läßt. Letztere gestatten eine analytische Fortsetzung derart, daß\ die Laplaceschen Integrale existieren, und damit ist auch die Integration des ursprünglichen Systems geleistet. Zum Schluß\ wird noch die Integration des inhomogenen Systems (2) mittels sukzessiver Näherungen durchgeführt.