Generalizzazione di alcuni punti delle teoria delle equazioni integrali di Fredholm. (Q1465913)

Im Anschluß\ an eine Reihe von Noten (vgl. das zweitvorstehende Referat) beschäftigt sich die Verfasserin mit der Funktionaloperation \[ J(\varphi) =k(s) \varphi(s) +\int_a^b K(s, t) \varphi(t) dt, \] wo \(K\) symmetrisch und quadratisch integrierbar, \(k(s)\) beschränkt und meßbar ist. Unter einem Eigenwerte \(\mu\) versteht man eine Konstante, für welche eine nicht identisch verschwindende Lösung (Eigenfunktion) der Gleichung \(\mu \varphi (s) = J(\varphi)\) existiert. Zu \(K(s, t), k(s)\) und \(\mu\) gehört eine ``charakteristische Funktion'' \(\Gamma(s, t),\) für welche ebenfalls \(\mu\Gamma(s, t) = J(\Gamma) (t\) beliebig) gilt, die außerdem mit einer beliebigen, zu \(\mu\) gehörigen Eigenfunktion \(\varphi (s)\) die Gleichung \[ [\mu- k(s)] \varphi (s) = \int_a^b \Gamma (t, s) \varphi(t) dt \] befriedigt. Die Reihe, deren Glieder die charakteristischen Funktionen sind, konvergiert im \textit{Mittel} gegen eine Funktion \(H(s, t).\) Das Hauptresultat läßt sich nun folgendermaßen formulieren: Wenn für die \(n\)-mal iterierte Operation \[ J^{(n)} (\varphi) =k^n(s)\varphi(s) +\int_a^b K^{(n)} (s,t) \varphi(t)dt \] eine aus den charakteristischen Funktionen gebildete Reihe im Mittel gegen den ``n-mal iterierten Kern'' \(K^{(n)} (s,t)\) konvergiert, so gilt Analoges für \(n = 1.\)