Sur les fonctions de lignes implicites. (Q1465929)

Seien \(u(s), v(s), U, V\) Funktionen, die man durch die Punkte \(a, b, A, B\) eines idealen Raumes darstellt. Der Abstand \(d\) der Punkte \(a\) und \(A\) sei erklärt durch: \[ d^2 = \int_0^1 [U(s) - u(s)]^2 ds. \] Wenn \(u\) fest und \(U\) so veränderlich ist, daß\ \(d \to 0,\) so sagt man, \(U\) strebt gegen \(u.\) Darauf führt man die Begriffe Kugel, stetige Kurve, Bogenlänge zurück. Dann gilt folgender Satz: Wenn a) \(v\) ein Funktional von \(U\) ist, eindeutig, stetig, und mit einem Differential begabt; b) die Umkehrung der Korrespondenz immer ``lokal'' möglich ist, d. h. die Beziehung zwischen \(\delta u = U - u\) und \(\delta v\) nach \(\delta u\) aufgelöst werden kann (in diesem Face existiert, wenn bei quadratisch integrierbarem \(\delta v\) auch \(\delta u\) quadratisch integrierbar ist, \(\mu > 0\) unabhängig von \(\delta v\) und so, daß \[ \int_0^1 [\delta v(s)]^2ds>\mu^2 \int_0^1 [\delta u(s)]^2ds; \] c) für alle \(A\) innerhalb der Kugel vom Radius \(\varrho\) um den ``Ursprung'' \((u = 0) \mu\) eine positive untere Grenze \(\mu_\varrho\) besitzt; d) \(\int_0^r \mu_\varrho d\varrho\) mit \(r\) über alle Grenzen wächst; dann ist die Umkehrung der betrachteten Transformation möglich und eindeutig im ganzen Raum. Verallgemeinerungen durch Änderung der Stetigkeitsbedingungen und der Abstandsdefinition.