Sur certaines transformations fonctionnelles et leur application à la théorie des fonctions permutables. (Q1465943)

Verf. nennt zwei Funktionen \(f\) und \(\varphi\) vertauschbar, wenn \[ \overset {*} f \overset {*} \varphi =\int_x^y (x, \xi)\varphi(\xi, y)d\xi \] gesetzt, \(\overset {*} f \overset {*} \varphi = \overset {*} \varphi \overset {*} f\) gilt. Volterra hat sämtliche Funktionen, welche mit einer gegebenen \(f (x, y) (f (x, x) =1, f_x'(x, x) = f_y'(x, x) = 0)\) vertauschbar sind, in der Form \[ (*) \quad \Omega (\lambda) =\lambda(y-x) +\int_0^{y - x}\lambda(\xi)\Phi(\xi;x,y)d\xi \] dargestellt. Hierbei ist \(\lambda,\) beliebig, \(\Phi\) hängt von \(f\) ab und genügt einer Funktionalgleichung. Die ``erzeugende Funktion'' \(\Phi\) ist durch \(f\) nicht eindeutig bestimmt und Verf. sucht sie so zu bestimmen, daß\ sie die Eigenschaften der Funktionengesamtheit \((*)\) möglichst treu widerspiegelt. Er fordert für zwei beliebige Funktionen \(\lambda, \mu\) \[ \Omega(\overset {*} \lambda \overset {*} \mu) =\overset {*} g \overset {*} h, \] wenn \[ \Omega (\lambda) = g, \;\Omega(\mu) = h \] ist. Dies führt auf eine Funktionalgleichung für \(\Phi,\) welche die schon genannte als Folgerung enthält und mittels sukzessiver Approximationen gelöst wird Es ergibt sich \[ \Phi(\eta;x,y) =\sum_{(n)}\int_0^\eta d\eta_n \int_0^{\eta_n}d\eta_{n-1}\dots \int_0^{\eta_2}d\eta_1 \overset {*} G_{\eta_1} \overset {*} G_{\eta_2}\dots \overset {*} G_{\eta_n} (x,y-\eta); \] hierbei ist \(0 \leqq x \leqq y \leqq a, 0 \leqq \eta \leqq y - x,\) ferner \[ G_\eta (x,y)=F(x+\eta,y+\eta), \] wo \(F\) eine beliebige, für \(0 \leqq x \leqq y \leqq a\) erklärte Funktion ist. Anwendungen auf Reihenentwicklungen, die Funktionen darstellen, welche mit einer gegebenen vertauschbar sind.