Le serie di potente nel campo delle funzioni di linee. (Q1465948)

Verf. betrachtet Linienfunktionen im Sinne von E. Pascal, folgt diesem ober nicht bei der Behandlung der Ableitungen, für welche er die -- mehr den Ideen von Volterra angemessenen -- Definitionen vorzieht, welche er in seiner früheren Arbeit (Batt. G. 55 [(3) 8], 35; F. d. M. 46, 655 (JFM 46.0655.*), 1916-18) gegeben hat. In der ersten Note löst Verf. hauptsächlich die Frage nach einem hinreichenden Kriterium dafür, daß\ die Summe einer unendlichen Reihe von Funktionen, die den Volterraschen Bedingungen genügen (das sind im wesentlichen Differentiierbarkeitsbedingungen), wiederum diesen Bedingungen genügt, und daß\ ihre Ableitung durch gliedweise Differentiation der Reihe sich ergibt. Verf. findet als hinreichend, daß\ die Reihe der Ableitungen der einzelnen Glieder, \textit{genommen in bezug auf den Punkt} \(\xi,\) gleichmäßig konvergiert, sowohl hinsichtlich der variabeln Linie \([x]\) als hinsichtlich des Parameters \(\xi.\) In der zweiten Note werden vorstehende Resultate angewendet auf einen; speziellen Reihentyp, den Verf. \textit{Potenzreihen} nennt; zu ihm gehören die; Reihen, welche man erhält, wenn man die Taylorsche Entwicklung auf Linienfunktionen überträgt. Für besagte Reihen ergeben sich Sätze, welche den gewöhnlichen sehr ähnlich sind, durch Einführung des \textit{Streifens gesicherter Konvergenz} (striscia di sicura convergenza), der in gewisser Hinsicht die Rolle des Konvergenzintervalls spielt. Auf diesem Wege kommt man z. B. leicht zu dem Begriff der analytischen Fortsetzung und damit zu dem Begriff \textit{der analytischen Funktion} von Linien.