Über Integration von gewöhnlichen Differentialgleichungen durch Reihen. I, II, III. (Q1465971)

In der ersten Arbeit handelt es sich um Differentialgleichungen der Form \[ (1)\quad y' =\sum_{\nu =2}^\infty f_\nu(x) y^\nu, \] wobei die Funktionen \(f_\nu(x)\) in einem Intervall \(0 \leqq x \leqq b\) stetig sein sollen. Das Integral, welches für \(x = 0\) den willkürlichen Wert \(c\) annimmt, wird in Form einer Reihe \[ y = c + \sum_{\nu =2}^\infty \varphi_\nu (x) c^\nu \] gewonnen, deren Koeffizienten \(\varphi_nu(x)\) sich rekurrent durch Quadraturen berechnen lassen. Es wird ein Intervall für \(x\) bestimmt, in welchem die Reihendarstellung gilt, und der Fehler abgeschätzt, den man begeht, wenn man die Reihe beim \(n\)-ten Glied abbricht. Die Methode eignet sich gut zur numerischen Integration, wie Verf. an zwei Beispielen mit ziffernmäßiger Fehlerabschätzung zeigt. Einige andere Typen von Differentialgleichungen lassen sich auf die obige zurückführen und dann ebenso integrieren. In der zweiten Arbeit integriert der Verf. die Differentialgleichung \[ (2) \quad y' = \sum_{\nu =0}^\infty f_\nu (x) y^\nu \] dadurch, daß\ er sie durch die allgemeinere mit einem Parameter \(t\) ersetzt: \[ y' = \sum_{\nu =0}^\infty f_\nu (x) y^\nu t^\nu \] und dann den Ansatz macht: \[ y = \sum_{\nu =0}^\infty \varphi_\nu (x) t^\nu. \] Die \(\varphi_\nu(x)\) ergeben sich wieder rekurrent durch Quadraturen. Nun entsteht die Frage, ob die für \(t =1\) entstehende Reihe konvergiert und ein Integral der ursprünglichen Differentialgleichung darstellt. Verf. bestimmt ein Intervall für \(x,\) in welchem das sicher gilt. Auch diese Methode gestattet, wenn man die Reihe beim \(n\)-ten Glied abbricht, eine genaue Fehlerabschätzung und eignet sich gut zur numerischen Integration. In der dritten Arbeit wird für die Differentialgleichung (2) eine sehr allgemeine Integrationsmethode entwickelt, die die vorausgehenden als spezielle Fälle umfaßt. Man mache in (2) den formalen Ansatz \[ y=\sum_{\lambda =1}^\infty \varphi_\lambda, \] wodurch sich ergibt: \[ \sum_{\lambda =1}^\infty \varphi_\lambda' =\sum \frac{(k_1 +k_2 +\cdots +k_\mu)!}{k_1!k_2!\dots k_\mu!}f_{k_1 +k_2 +\cdots +k_\mu} \varphi_1^{k_1}\varphi_2^{k_2}\cdots \varphi_\mu^{k_\mu}. \] Nun setze man die rechte Seite irgendwie in die Form einer einfachen Reihe \(\sum_{\lambda =1}^\infty w_\lambda,\) wobei \(w_1 = 0\) oder je, wobei ferner \(w_2\) irgend ein Teil der weiter vorkommenden, aber nur \(\varphi_1\) enthaltenden Terme ist, ferner \(w_3\) irgend ein Teil der weiter vorkommenden, aber nur \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\) enthaltenden Terme, usw. So erhält man: \[ \sum_{\lambda =1}^\infty \varphi_\lambda' = \sum_{\lambda =1}^\infty w_\lambda, \] und dieser Gleichung wird am einfachsten genügt, wenn man \(\varphi_\lambda' = w_\lambda\) setzt. Das ist wieder, da in \(w_\lambda\) nur \(\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_{\lambda- 1}\) vorkommt, eine rekurrente Bestimmung der \(\varphi_la\) durch Quadraturen. Verf. gibt wieder ein Intervall für die Variable \(x\) an, in welchem die so berechnete Reihe wirklich ein Integral darstellt. Das Verfahren wird in entsprechender Weise auch für Systeme von Differentialgleichungen durchgeführt.