Über die asymptotische Integration von Differentialgleichungen. (Q1465972)

In der Differentialgleichung \[ y^{(n)} +P_1 y^{(n-1)} + \cdots + P_ny =0 \] sollen die Koeffizienten \(P_i\) für \(x \to \infty\) die asymptotische Entwicklung zulassen: \[ P_i\sim x^{ik} (a_i + \frac{a_{i1}}{x} + \frac{a_{i2}}{x^2} +\cdots), \] wo \(k\) eine ganze nichtnegative Zahl ist. Besitzt dann die charakteristische Gleichung \[ \alpha^n+a_1\alpha^{n-1} + \cdots + a_n = 0 \] nur einfache Wurzeln, so wird die Differentialgleichung durch \(n\) Reihen der Form \[ \varphi_i =e^{\gamma_i(x)} x^{\varrho_i} \left( 1 + \frac{C_{i1}}{x} + \frac{C_{i2}}{x^2} +\cdots\right), \] wo \(\gamma_i (x)\) ein Polynom vom Grad \(k +1\) ist, \textit{formal} befriedigt. Bei mehrfachen Wurzeln der charakteristischen Gleichung können auch logarithmische Glieder auftreten. Verf. zeigt nun in voller Allgemeinheit, daß\ durch die formalen Reihen allemal die Integrale asymptotisch dargestellt werden. Zum Beweis führt er zunächst genau wie Horn (J. für Math. 138, 174; F. d. M. 41, 367 (JFM 41.0367.*), 1910) die Abschnittsfunktionen \[ z_i =e^{\gamma_i(x)} x^{\varrho_i}\left(1 + \frac{C_{i1}}{x} +\cdots + \frac{C_{im}}{x^m}\right) \] ein, die einer Differentialgleichung \[ z^{(n)} +Q_1 z^{(n-1)} +\cdots +Q_n z =0 \] genügen. Führt man dann zur Abkürzung einen Operator \(F\) ein, indem man \[ (Q_1-P_1)y^{(n-1)} +\cdots +(Q_n-P_n)y=F(y) \] so geht die Differentialgleichung für \(y\) über in: \[ y^{(n)} + Q_1y^{(n-1)} + \cdots + Q_ny = F(y), \] und hieraus folgt, indem man die rechte Seite für einen Moment als bekannt ansieht: \[ y=\sum_{i =1}^n c_i\cdot z_i +\sum_{i =1}^n z_i \int_{g_i}^x \frac{\Delta_i}{\Delta} F(y) dx, \] wo \(\Delta\) die Wronskische Determinante der \(x_i\) ist, und \(\Delta_i\) eine ihrer Unterdeterminanten. Während nun die Hornsche Methode darauf hinausläuft, diese Volterrasche Integrodifferentialgleichung durch sukzessive Näherungen zu lösen, führt Sternberg sie auf eine inhomogene Fredholmsche Integralgleichung mit der unbekannten Funktion \(Y = F(y)\) zurück. Der Kern ist lange eines Linie unstetig, gestattet aber die Anwendung der Fredholmschen Theorie. Es läßt sich zeigen, daß\ die \textit{homogene} Gleichung keine Lösung hat, und daraus folgt bekanntlich die Existenz einer Lösung der inhomogenen. Im zweiten Kapitel wird das System von partiellen Differentialgleichungen behandelt: \[ \begin{aligned} \frac {\partial^2z}{\partial x^2} +P_1\frac {\partial^2z}{\partial x\partial y} +P_2\frac {\partial z}{\partial x} +P_3 \frac {\partial z}{\partial y} +P_4 z& =0,\\ \frac {\partial^2z}{\partial y^2} +Q_1\frac {\partial^2z}{\partial x\partial y} +Q_2\frac {\partial z}{\partial x} +Q_3 \frac {\partial z}{\partial y} +Q_4 z =0.\end{aligned} \] Dabei muß\ zunächst definiert werden, was man unter einer asymptotischen Entwicklung einer Funktion von zwei Variabeln zu verstehen hat; für die Koeffizienten \(P_i, Q_i\) sollen solche asymptotische Entwicklungen bestehen Wenn \(P_1Q_1 -1\) nicht identisch verschwindet, hat das System höchstens vier linear unabhängige Lösungen. Die Maximalzahl 4 wird erreicht, wenn die Koeffizienten \(P_i, Q_i\) gewissen Bedingungsgleichungen genügen, die erfüllt sein sollen. Alsdann wird das System durch vier Entwicklungen der Form \[ z =e^{\alpha_i x +\beta_i y} x^{\varrho_i}y^{\sigma_i} \left(1 + \frac{C_{10}^i}{x} + \frac{C_{01}^i}{y} + \frac{C_{20}^i}{x^2} +\cdots\right) \] \textit{formal} befriedigt, und Verf. zeigt, daß\ durch diese Reihen die vier linear unabhängigen Integrale asymptotisch dargestellt werden.