Laplacesche Integrale und Gammaquotientenreihen in der Theorie der linearen Differentialgleichungen und Volterraschen Integralgleichungen. (Q1465973)

Die lineare Differentialgleichung \[ (\text{A})\quad \frac{d^m y}{dx^m} +x^{k-1} P_1(x) \frac{d^{m- 1}y}{dx^{m-1}} +\cdots +x^{m(k-1)} P_m (x)y =0, \] wobei die \(P_\mu(x)\) an der Stelle \(x = \infty\) reguläre Funktionen sind, geht, indem man \(x^k\) als neue unabhängig Variable einführt und dafür wieder \(x\) schreibt, über in \[ (\text{K})\quad \frac{d^m y}{dx^m} +Q_1(x) \frac{d^{m- 1}y}{dx^{m-1}} +\cdots +Q_m (x) y =0, \] wobei \[ Q_\mu(x) =a_\mu +a_\mu^{(1)} x^{- \frac 1k} +a_\mu^{(2)} x^{- \frac 2k} +\cdots. \] Die Gleichung (K) wird durch die Laplacesche Transformation \[ y = \int_0^\infty v(x) e^{zx}dz \] übergeführt in eine gewisse Volterrasche Integralgleichung, die sich sowohl durch sukzessive Näherungen wie auch mit Hilfe einer Gammaquotientenreihe integrieren läßt. Zum Schluß\ wird zu einer früheren Arbeit des Verf. (Math. Zeitschr. 3, 265; F. d. M. dieser Band S. 370) eine Berichtigung gegeben, wodurch aber die Resultate nicht berührt werden. (IV 7.)