Über ein System von Differentialgleichungen zweiten Grades. (Q1465991)

Der Satz wird bewiesen, daß\ ein System von Differentialgleichungen der Form: \[ (*)\quad \frac{dx_i}{dt} =\sum_{kl} A_{ikl}(t) x_k x_l\;(i =1,2,3), \] das zwei quadratische Integrale von der Form: \(\sum a_{ik}x_i h_k =\text{konst.}\) mit konstanten Koeffizienten besitzt, im allgemeinen durch eine lineare homogene Transformation die Gestalt: \[ \frac {dy_i}{dt} = B_{ikj}(t) y_ky_j \] erhalten kann, unter \(i, k, j\) eine zyklische Permutation von 1, 2, 3 verstanden. Es ist das ein Seitenstück zu einem Satze von Darboux über ein System linearer homogener Differentialgleichungen mit einem solchen Integrale. Die Eulerschen Differentialgleichungen für die kräftefreie Bewegung eines Körpers um einen festen Punkt sind daher im wesentlichen das einzige System \((*),\) das zwei solche Integrale besitzt. (VI 3.)