Bemerkung über die Lösungszahl zueinander adjungierter Randwertaufgaben bei linearen Differentialgleichungen. (Q1466030)

Es seien \(u(x), \omega(x)\) Funktionen der reellen Veränderlichen \(x (a \leqq x \leqq b), L(u)\) sei ein homogener linearer gewöhnlicher Differentialausdruck 2. Ordnung, \(\Lambda(\omega)\) der zu \(L(u)\) adjungierte Ausdruck. Schreibt man für die Randwerte von \(u\) und \( \frac {du}{dx}\left( \text{ bzw. } \omega \text{ und } \frac {d\omega}{dx}\right)\) in \(x = a\) und \(x = b\) lineare Bedingungen \(g_j(u, u') = f_j\) (bzw. \(\gamma_j (\omega, \omega') = \varphi_j, j = 1, 2)\) vor, so bezeichnet man die zwei Probleme als zu einander adjungiert ``wenn sie durch die bilineare Beziehung des Greenschen Satzes so verknüpft sind, daß\ homogene Lösungen des einen Problems lineare Identitäten zwischen den Differentialbedingungen des homogenen zweiten Problems nach sich ziehen.'' Für eine Lösung \(u(x)\) des ``homogenen'' Problems gilt \(L(u) = 0, g_j(u, u') = 0\) (``homogene'' Lösung). Es wird zunächst gezeigt, daß\ im vorliegenden Falle für \(L\equiv \Lambda\) immer beide Probleme gleichviel homogene Lösungen besitzen, da alles auf die Lösung eines Systems linearer homogener Gleichungen mit endlich viel Unbekannten ankommt. ``Die hier verwandte Schlußweise ist aber nicht auf Randwertaufgaben bei partiellen Differentialgleichungen übertragbar.'' Denn ``es handelt sich'' dann ``entsprechend um unendlich viele (lineare) homogene Gleichungen.'' ``In der Tat lassen sich Beispiele angeben, für die die Lösungszahl des adjungierten Problems nicht mit der des ursprünglichen übereinstimmt.'' Solche Beispiele liefert die Potentialgleichung \(\Delta (u) = 0\) mit der linearen Randbedingung längs des Einheitskreises \[ g(u) =\lambda(s)\frac {\partial u}{\partial n} +\mu(s)\frac {\partial u}{\partial s} =f(s) ( \text{ als ursprüngliches Problem}). \] Für \(\lambda = - \sin m\alpha, \mu = \cos m\alpha\) erhält man, je nach Wahl von \(m,\) entweder homogene Lösungen des ursprünglichen Problems, oder aber keine für das adjungierte usw. Diesbezügliche allgemeine Sätze bringt die Arbeit des gleichen Verf. ``Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen'' (Math. Ann. 82, 42, 1920).