Expansion Problems with irregular boundary conditions. (Q1466033)

Untersucht wird das Verhalten der Entwicklungen nach Eigenfunktionen gewöhnlicher Differentialgleichungen unter Randbedingungen, die nicht zu dem von Birkhoff behandelten allgemeinen ``regulären'' Typ gehören. Der einfachste Fall ist die Liouvillesche Randwertaufgabe \[ \frac{d^3u}{dx^3} +\varrho^3u =0\text{ mit }u(0) =u'(0) =u(\pi) =0. \] Hier wird gezeigt -- entgegen der im letzten Kap. der Dissertation von H. Laudien (Breslau 1914) ausgesprochenen Behauptung --, daß\ jede gleichmäßig konvergente Reihe nach Eigenfunktionen Ableitungen jeder Ordnung besitzt und daß\ es andererseits analytische bei 0 und \(\pi\) von beliebig hoher Ordnung verschwindende Funktionen gibt, deren formale Entwicklung nach Eigenfunktionen überall divergiert. Ähnliche von den Verhältnissen im regulären Falle wesentlich verschiedene Umstände werden für irreguläre Randwertprobleme bei Differentialgleichungen höherer Ordnung nachgewiesen.