Sur la solution principale d'une certaine équation aux différences finies. (Q1466045)

In beiden Noten handelt es sich um die Gleichung \[ G(x + \omega) + G(x) = 2\varphi (x), \] \(\omega > 0, \varphi(x)\) gegeben. Der Verf. untersucht spezielle Lösungen (Hauptlösungen) \(G(x) =G (x|\omega),\) die durch einfachen analytischen Charakter ausgezeichnet sind. Sie ergeben sich in recht allgemeinen (in der Note nicht näher präzisierten) Fällen durch Summierung der Reihe \[ 2 \sum_{s =0}^\infty (-1)^s \varphi (x+ s\omega ) \] irgend einem Summationsverfahren vom Typus \[ 2\lim_{\eta\to 0}\sum_{s =0}^\infty (-1)^s \varphi(x +s\omega)\delta(x +s\omega,\eta), \] wo die Funktion \(\sigma\) auf verschiedene weisen wählbar ist. In dem speziellen Falle, wo \(\varphi (x) m\)-mal stetig differentiierbar ist, und die Reihe \[ 2\sum_{s =0}^\infty (-1)^s \varphi^{(m)}(x +s\omega ) \] in einem Intervall \(x_0 leqq x \leqq x_0 + \omega\) gleichmäßig konvergiert, ergibt sich die Hauptlösung in der Form \[ 2\lim_{\eta\to 0}\sum_{s =0}^\infty (-1)^s \varphi(x +s\omega)e^{-\eta s}. \] Es gilt in diesem Falle, wenn \(0 \leqq h \leqq\omega,\) \[ G(x +h\mid \omega) =\sum_{\nu =0}^{m-1} \varphi^{(\nu)} (x) \frac{E_\nu(h\mid\omega)}{\nu!} +R_m, \] wo \(E_\nu (h\mid\omega)\) die in der auf S. 216 angezeigten Arbeit definierten Eulerschen Polynome bezeichnet und das Restglied \(R_m\) sich leicht abschätzen läßt. Durch eine spezielle Wahl von \(h\) läßt sich namentlich erreichen, daß\ \[ | R_m|<\left| \varphi^{(m)}(x) \frac{E_m (h\mid\omega)}{m!}\right|. \] Verf. gibt auch andere Darstellungen von \(G(x + h\mid\omega)\) an, die aus dem allgemeinen Summationsprinzip folgen und dazu benutzt werden, um das Verhalten von \(G(x\mid\omega)\) für \(\omega \to +0\) aufzuklären. Endlich ist eine Art Fourierscher Entwicklung \[ G(x\mid\omega) =\sum_\nu \left(a_\nu\cos \frac{\nu\pi x}\omega +b_\nu\sin \frac{\nu\pi x}\omega\right)\;(x_0<x<x_0 +\omega) \] zu erwähnen, wobei \(\nu\) die positiven ungeraden Zahlen durchläuft und \[ \begin{matrix} a_\nu\\ b_\nu\end{matrix} = \frac 4\omega \lim_{\eta\to 0} \int_{x_0}^\infty \begin{matrix}\cos\\ \sin\end{matrix} \frac{\pi \nu z}{\omega} \varphi (z) e^{-\eta z}dz \] ist, \(\nu =1, 3, 5, 7, \dots.\)