Integraldifferenzen- und Differentialdifferenzengleichungen. Preisschriften gekrönt und herausgegeben von der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig. (Q1466047)

Von den zahlreichen Resultaten dieser interessanten Abhandlung seien als Beispiele die folgenden angeführt: Es existieren Funktionen, die für alle endlichen reellen \(x\) eindeutig, wesentlich positiv und mindestens einmal stetig differentiierbar sind und für alle endlichen reellen \(x\) der Gleichung \(f'(x +1) = \varphi (x)f (x)\) genügen. Über die gegebene Funktion \(\varphi (x)\) ist nur vorausgesetzt: \(\varphi (x)\) sei für alle endlichen reellen \(x\) eindeutig, reell, stetig und wesentlich positiv. Es gibt nur eine einzige bis auf eine multiplikative Konstante bestimmte reelle Funktion \(\chi(x),\) die für alle endlichen reellen \(x\) eindeutig, nicht negativ, mindestens einmal stetig differentiierbar ißt und für alle endlichen reellen \(x\) der Gleichung \[ \chi' (x + 1) = \varphi (x)\chi(x) \] genügt, in der \(\varphi (x)\) eine gegebene für alle endlichen reellen \(x\) eindeutige reelle wesentlich positive Funktion ist, für die \[ \int_s^{s +1}\varphi(u)du\text{ bei }s\to -\infty, \] unter einer endlichen Grenze bleibt. Diese Lösung \(\chi(x)\) ist für alle endlichen reellen \(x\) wesentlich positiv, nimmt zu mit wachsendem \(x\) und ist dargestellt durch den in allen endlichen reellen Intervallen gleichmäßig konvergenten Grenzwert \[ \lim_{u\to-\infty} \frac {F(u, x)}{ F(u, 0)} = \chi(x). \] Dabei ist \(F(u, x)\) definiert durch: \[ F(u,x) =0, \text{ für } x<u +1, F(u,x) =1, \text{ für } u +1\leqq x\leqq u_2, \] \[ F(u,x)=p_n(u,x) +p_{n-1}(u,x) +\cdots +p_2(u,x) +p_1(u,x),\text{ für}u +n\leqq x\leqq u +n +1, \] \[ p_1(u, x) =1,\;p_m(u,x) =\int_u^{x-m}\varphi(w_0 +1)dw_0\int_{w_0 +1}^{x-m +1}\varphi(w_1 +1)dw_1 \cdots \int_{w_{m-3} +1}^{x-2} \varphi(w_{m-2} +1)dw_{m- 2}. \] Es existieren Funktionen \(f (x),\) die für alle endlichen reellen \(x\) reell, eindeutig und mindestens einmal stetig differentiierbar sind, für alle endlichen reellen \(x\) der Gleichung \[ f'(x +1) = \varphi (x) f(x) \] genügen, in irgend einem Intervall \(a -1 < x \leqq a\) die einfache Nullstelle \(a\) und außerdem \(2n -1\) (\(n\) eine willkürlich gegebene ganze Zahl) weitere beliebig gegebene einfache Nullstellen und nur diese Nullstellen in \(a-1 \leqq x \leqq a\) haben und in \textit{jedem} Intervall \(s -1 \leqq x \leqq s \leqq a\) entweder \(2n\) oder \(2n -1,\) was von der Lage des Intervalls abhängen darf, einfache Nullstellen und nur diese Nullstellen haben. Über die gegebene Funktion \(\varphi (x)\) ist nur vorausgesetzt: \(\varphi (x)\) ist für alle endlichen reellen \(x\) reell, eindeutig, stetig und wesentlich positiv.