Über die Konvergenz eines mit einer Potenzreihe assoziierten Kettenbruchs. (Q1466056)

Sei \(c_0, c_1, c_2, \dots\) eine Folge reeller Zahlen derart, daß\ die Determinanten \[ C_m =\left| \begin{matrix} c_0&c_1&\dots &c_{m-1}\\ c_1&c_2&\dots &c_m\\ \ldots\\ c_{m-1}&c_m&\ldots &c_{2m-2} \end{matrix}\right|\;(m =1,2,3,\dots) \] sämtlich positiv sind. Dann existiert bekanntlich der mit der Reihe \[ S(z)\equiv \frac {c_0}{z} + \frac {c_1}{z^2} + \frac {c_2}{z^3} + \cdots \] assoziierte Kettenbruch \[ K(z) = \frac{\alpha_1\mid}{\mid z +\beta_1} +\frac{\alpha_2\mid}{\mid z +\beta_2} +\frac{\alpha_3\mid}{\mid z +\beta_3} +\cdots, \] und es ist \(\alpha_1 > 0,\) aber \(\alpha_\nu < 0\) für \(\nu \geqq 2.\) Hamburger unterwirft nun die Koeffizienten \(c_\nu\) der weiteren Bedingung \[ (1)\quad | c_\nu| \leqq \frac k{\varrho^\nu} \nu !, \] wo \(k\) und \(\varrho\) positive Zahlen sind, und zeigt, daß\ dann der Kettenbruch \(K(z)\) in der positiv imaginären Halbebene gegen eine analytische Funktion \(f (z)\) und ebenso in der negativ imaginären Halbebene gegen eine analytische Funktion \(f^*(z)\) konvergiert; jedoch sind im allgemeinen \(f (z)\) und \(f^*(z)\) nicht analytische Fortsetzung voneinander. Weiter wird gezeigt, daß\ die Reihe \[ v(t) =\sum_{\nu =0}^\infty \frac{c_\nu}{\nu!} t^\nu, \] die wegen (1) für \(| t|< \varrho\) konvergiert, sich in dem ganzen Streifen \[ -\varrho <{\mathfrak R}(t)<\varrho \] analytisch fortsetzen läßt, und daß\ die Funktionen \(f (z), f^*(z)\) auch die Darstellung gestatten: \[ f(z)=\int_0^{-i\infty}v(t)e^{-tz}dt,\;f^*(z) =\int_0^{i\infty}v(t)e^{-tz}dt. \] Das bedeutet für die Reihe \(S(z),\) die nirgends zu konvergieren braucht, Summation im Borelschen Sinne mit einer Modifikation in bezug auf den Integrationsweg.