Sur deux extensions des fractions continues algébriques. (Q1466057)

Eine von Hermite herrührende Verallgemeinerung der Stieltjesschen Kettenbrüche stellt sich die Aufgabe, Polynome \(N_k(x)\) vom Grade \(n_k\) zu finden, für welche die Entwicklung von \[ \sum_{k =1}^p N_k\left( \frac{\alpha_k}{x} + \frac{\beta_k}{x^2} + \frac{\gamma_k}{x^3} +\cdots\right) \] keine Potenzen \(x^{-l}, l =1, 2, \dots, n_1 + n_2 + \cdots +n_p +p-1\) enthält. Hierbei sind \(\alpha_k, \beta_k, \gamma_k, \dots \) gegebene Konstanten. In dem Spezialfall \[ \frac{\alpha_k}{x} + \frac{\beta_k}{x^2} + \frac{\gamma_k}{x^3} +\cdots=\int_{a_k}^{b_k}\varphi_k(z) \frac{dz}{x-z},\;k =1,2,\dots, p, \] wo \[ a_1<b_1 \leqq a_2<b_2 \leqq \cdots \leqq a_p < b_p \] gilt und die \(\varphi_k(z)\) im \(k\)-ten Intervall \(a_k, b_k\) unveränderliches Vorzeichen haben, beweist der Verf., daß\ die Polyhome \(N_k(x),\) abgesehen von einem Proportionalitätsfaktor, eindeutig bestimmt sind, daß\ ferner ihre Nullstellen einfach sind und in die betreffenden Intervalle \(a_k, b_k\) hineinfallen. Auch eine andere Verallgemeinerung der Kettenbruchtheorie wird erwähnt, die der Verf. in einem Spezialfall bereits früher (C. R. 162, 121, 1916, 167, 629, 1918) behandelt hatte. (IV 4.)