Über die Integration eines \(p\)-fachen Differentialausdruckes von \(n\) unabhängigen Veränderlichen. (Q1466065)

Der Verf. will ermitteln, wann ein Integral von der Form: \[ (1) \quad \int \sum A_{\alpha_1,\dots,\alpha_p} dx_{\alpha_1}\dots dx{\alpha_p}, \] wo die \(A\) alternierende Funktionen von \(x_1, \dots, x_n\) sind und wo für \(\alpha_1, \dots, \alpha_p\) alle Kombinationen von \(1, \dots, n\) zu je \(p\) zu setzen sind, die Form \(\int du_1 \dots du_p\) erhalten kann. Aus den hierzu notwendigen und hinreichenden Bedingungen: \[ (2)\quad \left(\begin{matrix} u_1, & \dots &u_p\\ x_{\alpha_1}&\dots &x_{\alpha_p}\end{matrix}\right) =A_{\alpha_1,\dots,\alpha_p} \] folgt, daß\ die d den Relationen genügen müssen. die zwischen den \(p\)-reihigen Determinanten der Matrix der Ableitungen der \(u\) bestehen. Der Verf. leitet diese Relationen auf neue und einfache Weise ab und zeigt auch, daß\ Größen die diesen Relationen genügen, immer den Determinanten einer aufstellbaren Matrix jener Art proportional sind. Außerdem müssen die \(A\) noch gewisse Bedingungen erfüllen, die zur Folge haben, daß\ die sich aus (2) für ein beliebiges \(u_k\) ergebenden linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung ein \((n - p)\)-gliedriges vollständiges System bilden. Zu diesen Bedingungen gelangt man, indem man das über eine geschlossene \(M_p\) erstreckte und daher schwindende Integral (1) nach dem verallgemeinerten Greenschen Satze auf die Form: \[ \sum {\mathfrak A}_{\alpha_1,\dots, a_{p +1}} dx_{\alpha_1}\dots dx_{\alpha_{p +1}} \] bringt, wo nun die \(\mathfrak A\) alle verschwinden müssen. Für \(p = n -1\) erhält man hier die Jacobische Beziehung zwischen den \((n -1)\)-reihigen Unterdeterminanten einer \(n\)-reihigen Funktionaldeterminante. Es ist irreführend, wenn der Verf. diese Beziehung die Jacobische Identität nennt, denn das ist eine Benennung, die in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung längst eingebürgerte Bedeutung hat. Jene Relationen und diese Bedinge sind notwendig und hinreichend; die Bestimmung der \(u_k\) erfordert dann die Integration des vollständigen Systems und eine Quadratur. Erfüllen die \(A\) bloß\ die erwähnten Bedingungen, nicht aber jene Relationen, so stehen sie zu gewissen Größen \(B_{{\alpha_1},\dots,\alpha_{p-1}}\) in genau derselben Beziehung wie die \(\mathfrak A\) zu den \(A\) selber. Die \(B,\) von denen gewisse willkürlich bleiben, können durch Quadraturen ermittelt werden. Verlangt man bloß, daß\ (1) die Form \(\int \varrho du_1 \dots du_p\) erhalten, so ergeben sich außer den früher erwähnten Relationen zwischen den \(A\) als notwendig und hinreichend die entsprechenden Relationen zwischen den \(\mathfrak A\) und außerdem gewisse bilineare Gleichungen zwischen den \(A\) und den \(\mathfrak A\). Diese Bedingungen sagen aus, daß\ die \(A\) und die \(\mathfrak A\) im \(R_{n-1}\) die homogenen Koordinaten zweier ebener Mannigfaltigkeiten \(E_{p_1+}\) und \(E_P\) sind und daß\ \(E_p\) durch \(E_{p-1}\) geht.