Beiträge zum Studium der Randwertaufgaben. (Q1466086)

``Man kann die Theorie der Randwertaufgaben entweder ihrer selbstwillen studieren, oder auch aus anderen Gründen. Hier ist letzteres der Fall: Es handelt sich um folgende ``neue Aufgabe'' [vgl. S. 533]. Die Azimute der einzelnen Punkte einer gegebenen Kreislinie \(\sigma\) seien mit \(\varphi\) bezeichnet, derart, daß\ \(\varphi\) bei einer einmaligen Durchlaufung der Kreislinie von \(- \pi\) bis \(+\pi\) wächst. Auch sei die Kreislinie \(\sigma\) durch zwei Punkte \(c (\varphi = -\alpha) \) und \(d(\varphi =+ \alpha)\) in zwei Bogen \(s(c d)\) und \(t(d c)\) zerlegt, sodaß\ also der Zentriwinkel des Bogens \(s(cd)\) gleich \(2\alpha\) ist. Dabei sei festgesetzt, daß\ \(0 < 2\alpha < 2\pi\) soll; so daß\ also der Bogen \(s(c d)\) weder verschwinden, noch auch ein voller Kreis sein kann. Der Bogen \(s(c d)\) mag, nach beiden Seiten ein wenig verlängert gedacht, mit \(s_1(c_1 d_1)\) bezeichnet werden; derart, daß\ \(c_1\) und \(d_1\) zwei zur Kreislinie \(\sigma\) gehörige Punkte vorstellen, die den eigentlich gegebenen Punkten \(c\) und \(d\) sehr nahe liegen. Andererseits mag jedweder von den Punkten \(c\) und \(d\) durch irgendwelche Zwischenräume getrennte Teil des Bogens \(t(dc)\) kurzweg ein ``\(\tau\)-Bogen'' genannt werden. Auf dem Bogen \(s(cd)\) sei nun eine Funktion \(f(\varphi)\) vorgeschrieben. Sie und ihre Ableitung \(f'(\varphi)\) seien längs des Bogens \(s(cd)\) abteilungsweise stetig; und die zweite Ableitung \(f'' (\varphi)\) sei längs \(s(c d)\) abteilungsweise stetig. Es sollen die Konstanten \(A, B\) derart bestimmt werden, daß\ die Reihen: \[ \begin{aligned} (\alpha)\quad A_0 +&\sum_{n =1}^\infty (A_n \cos n\varphi +B_n \sin n\varphi),\;[\text{auf }s_1(c_1d_1)],\\ (\beta)\quad &\sum_{n =1}^\infty n(A_n \cos n\varphi + B_n \sin n\varphi), \;[\text{auf jedweden }\tau-\text{Bogen}],\end{aligned} \] gleichmäßig konvergent sind, die eine nicht nur für die Punkte \(\varphi\) des Bogens \(s(cd),\) sondern auch für alle Punkte \(\varphi\) des etwas längeren Bogens \(s_1(c_1 d_1)\) die andere für alle Punkte \(\varphi\) eines jedweden \(\tau\)-Bogens. Auch soll die erstere längs des eigentlich gegebenen Bogens \(s(c d)\) überall \(= f (\varphi),\) die andere längs eines jedweden \(\tau\)-Bogens überall = 0 sein [vgl. S. 533 ff.]. Ich werde in der gegenwärtigen Abhandlung nachweisen, daß\ diese ``neue Aufgabe'' eine Lösung besitzt, ferner nachweisen, daß\ sie stets nur eine einzige Lösung besitzt, und daß\ diese Lösung dargestellt ist durch die Formeln: \[ (\gamma)\quad A_n =\int_{-\alpha}^\alpha \frac{{\mathfrak A}_n(\varphi)\cdot f(\varphi)d\varphi}{\pi \sqrt{2(\cos\varphi- \cos\alpha)}},\;B_n =\int_{-\alpha }^\alpha \frac{{\mathfrak B}_n(\varphi)\cdot f(\varphi)d\varphi}{\pi\sqrt{2(\cos \varphi- \cos\alpha)}}, \] in denen \({\mathfrak A}_n (\varphi), {\mathfrak B}_n(\varphi)\) ganz bestimmte Funktionen vorstellen, die von der vorgeschriebenen Funktion \(f (\varphi)\) unabhängig sind. -- Wir haben hier also zwei Theoreme vor Augen: ein Existenztheorem und ein Unitätstheorem.'' Inhaltsübersicht: Vorwort. 1. Kapitel: Definition und allgemeine Eigenschaffen der Fundamentalfunktionen. 2. Kapitel : Die Theorie der extremen Werte und die Greensche Integralformel der Randwertaufgaben. 3. Kapitel: Die durch die Massenbelegung einer gegebenen Kurve entstehenden Potentiale. 4. Kapitel: Übergang zu einigen verwandten Potentialen. 5. Kapitel: Das Potential einer Doppelbelegung. 6. Kapitel: Die Lösung der beiden Kreisaufgaben. 7. Kapitel: Zur Theorie der Kugelfunktionen. 8. Kapitel: Zur Theorie der Fourierschen Reihen. Eine hierher gehörige neue Aufgabe. Das zu erreichende Ziel. 9. Kapitel: Die Lösung der Kreisbogenaufgabe. 9. Kapitel, zweiter Teil: Einführung der dipolaren Koordinaten. 10. Kapitel: Die Lösung der Kreisbogenaufgabe wird in eine unendliche Reihe entwickelt. 11. Kapitel: Die peripherischen Werte der Lösung der Kreisbogenaufgabe. 12. Kapitel Die Lösung der Kieisbogenaufgabe wird in eine Reihe entwickelt, die gültig und gleichmäßig konvergent ist für alle Punkte der ganzen unendlichen Ebene. 13. Kapitel: Die im achten Kapitel proponierte neue Aufgabe. 14. Kapitel: Der Beweis dafür, daß\ die neue Aufgabe nur eine einzige Lösung zuläßt.