Über das Potential dreifach belegter Flächen. (Q1466087)

Das Potential einer dreifachen Flächenbelegung wird durch den folgenden Grenzübergang gowonnen. Die Fläche \(F\) und ihre beiden Parallelflächen \(F_1\) und \(F_2\) im Abstande \(\delta\) werden mit den Dichten -- \(2qm, qm_1, qm_2\) belegt, die so gewählt werden, daß\ \(mdo = m_1 do_1 = m_2do_2\) ist, wo \(do, do_1, do_2\) die entsprechenden Flächenelemente sind. Läßt man \(\delta \to 0, q\delta^2 \to1\) gehen, so strebt das Potential der drei Flächen dem Grenzwert \[ W \iint \frac {mdo}{E^3} (-1 +3 \cos (E, N)) \] zu, wo \(E\) die Entfernung vom Aufpunkt und \((E, N)\) der Winkel ihrer Richtung mit der Normalen ist. Das Verhalten von \(W\) an der Fläche wird untersucht. Die Funktion \(W\) macht an der Fläche den Sprung -- \(4\pi mS (S =\) doppelte mittlere Krümmung) die Ableitung in irgend einer tangentialen Richtung \(s\) den Sprung \(- 4\pi \partial (mS)/\partial s.\)