Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. (Q1466091)

In zahlreichen Fällen ist es erwünscht, genaue Aufschlüsse über das Verhalten der Greenschen sowie der Neumannschen Funktion (der Greenschen Funktionen erster und zweiter Art) zu besitzen. Der Verf. behandelt, in Durchführung seiner früheren vorläufigen Mitteilungen (C. R. 158, 1008; F. d. M. 45, 591 (JFM 45.0591.*), 1914-15) die folgenden Probleme. Sei \(\Phi(x, y, z; \xi, \eta, \zeta)\) irgendeine der beiden vorhin genannten Funktionen. Es ist eine Funktion \(\varphi (x, y, z; \xi, \eta, \zeta)\) explizite anzugeben, so daß\ \(\Phi - \varphi\) für alle \((x, y, z); (\xi, \eta, \zeta)\) in einer gewissen Umgebung (des analytisch und regulär vorauszusetzenden Randes des Gebietes analytisch und regulär ist. Für dieses Problem wird für ebene Gebiete die Lösung in Gestalt eines leicht zu diskutierenden Randintegrals geliefert das, wie der Verf. hervorhebt, bereits von E. E. Levi angegeben worden ist (Gött. Nachr. 1908, 249; F. d. M. 39, 413 (JFM 39.0413.*)). Eine andere analoge Formel wird für die am Rande nebst ihrer Normalableitung verschwindende Greensche Funktion der Differentialgleichung \(\Delta\Delta u = 0\) bestimmt. Im Raume hat, wie es scheint, das betrachtete Problem keine Lösung. Darum behandelt hier der Verf. das folgende modifizierte Problem: Es ist eine Funktion \(\varphi (x, y, z; \xi, \eta, \zeta)\) explizite anzugeben, so daß\ die Differenz \(\Phi- \varphi\) nebst allen ihren Ableitungen bis zu einer vorgeschriebenen (nach Bedarf beliebig hohen Ordnung) in einer gewissen Umgebung des Randes beschränkt bleibt. Auch dieses Problem wird durch relativ einfache Rechnungen vollkommen erledigt. Die Ergebnisse des Verfassers müssen als wesentliche Fortschritte der Potentialtheorie bewertet werden.