Über die Randwertaufgaben beim logarithmischen Potential. (Q1466097)

In Verallgemeinerung der Methode der Integralgleichungen führt die von F. Riesz und Radon ausgebaute Theorie der linearen Funktionaltransformationen zur Lösung der Randwertaufgaben für Gebiete mit allgemeinerer Berandung, als sie den Integralgleichungen zugänglich sind; die Ergebnisse gehen noch über die von Korn und Zaremba auf anderem Wege erzielten Resultate hinaus. Es gelten nämlich für das Innen- wie für das Außengebiet einer Jordanschen Kurve ``beschränkter Drehung'' dieselben Lösungsmethoden (insbesondere die Reihenentwicklungen von C. Neumann), die für ``reguläre'' Bereiche aus der Theorie der Integralgleichungen fließen. Eine rektifizierbare, mit dem Bogen als Parameter vorgelegte ebene Kurve \(E : x = x (s), y = y (s) (0 \leqq s \leqq S)\) heißt von beschränkter Drehung, wenn die durch die Gleichungen \(x' (s) = \cos \vartheta (s), y' (s) = \sin \vartheta(s)\) bis auf eine Nullmenge, sonst beliebig festgelegte Funktion \(\vartheta (s)\) im Intervall \(0\leqq s \leqq S\) von beschränkter Schwankung ist; eine solche Kurve kann eine endliche Anzahl Spitzen und abzählbar viele Ecken besitzen. Herleitung von Eigenschaften dieser Kurven, insbesondere der Jordanschen Kurven beschränkter Drehung. -- Einführung des Potentials einer Doppelschicht vom Momente \(\varphi (s)\) auf einer Jordanschen Kurve \(C\) von beschränkter Drehung als Stieltjessches Integral; seine Randwerte von innen und außen auf \(C\) lassen sich durch eine lineare Funktionaltransformation in der Form \(W_s^ + = \varphi(s) + (T\varphi) s, W_s^- = \varphi (s) + (T\varphi) s\) darstellen. Studium der Transformation \(T\varphi.\) -- Potential einer einfachen Schicht mit der Belegung \(\Phi;\) es hat bei Modifikation Plemeljscher Definitionen eine innere und äußere Rindströmung, die aus \(\Phi\) durch eine ``transponierte'' Funktionaltransformation gewonnen werden können. -- Lösung der Randwertaufgaben mittels der als Funktionalgleichungen für \(\varphi\) bzw. \(\Phi\) aufgefaßten Funktionaltransformationen.