Sur le calcul des variations dans l'espace. (Q1466146)

Die Methoden der ebenen Variationsrechnung werden auf das folgende räumliche Problem übertragen. Es sei \(R\) ein einfach zusammenhängender Bereich im Raume, innerhalb dessen eine. analytische Funktion \(V\) von \(x, y, z, \theta,\varphi, \psi\) definiert ist. Hierbei sind \(x, y, z\) die rechtwinkligen Koordinaten eines Punktes von \(R\) und \(\theta, \varphi, \psi\) bezeichnen die Winkel, die ein Vektor durch diesen Punkt mit den Koordinatenachsen einschließt. Es ist \[ \int_{t_1}^{t_2} \frac{\sqrt{x^{\prime 2} +y^{\prime 2} +z^{\prime 2}}}{V(x,y,z;\theta, \varphi, \psi)}dt \] zum Minimum zu machen, für alle stetig differentiierbaren Kurven \(x = x (t), y = y (t), z = z (t) (t_1 \leqq t \leqq t_2),\) welche zwei feste Punkte miteinander verbinden und ganz in \(R\) verlaufen; der oben erwähnte Vektor stimmt in jedem Punkte mit der Tangente überein.