Über affine Geometrie XIX: Extremeigenschaften und Integralgleichungen für die Ellipse. (Q1466158)

In Verallgemeinerung eines Ergebnisses der elften dieser Mitteilungen über Affingeometrie wird nach einem Verfahren von T. Carleman (Vgl. das Referat S. 478) gezeigt. Von allen Eibereichen \(\mathfrak B\) gegebenen Flächeninhalts \(F\) liefern die Ellipsen den kleinsten Wert des Integrals \[ \int_{{\mathfrak B}}\int_{{\mathfrak B}}\int_{{\mathfrak B}}f(|{\mathfrak p}_1{\mathfrak p}_2{\mathfrak p}_3|) \cdot dF_1 \cdot dF_2 \cdot dF_3. \] Dabei ist \(f\) eine positive monoton wachsende Funktion der positiven Dreiecksfläche mit den Eckpunkten \({\mathfrak p}_k\) und \(dF_k\) ist das Flächenelement von \(\mathfrak B\) in \({\mathfrak p}_k.\) Ferner: Hat für alle Randpunkte \(\mathfrak p\) eines Eibereichs \(\mathfrak B\) das Integral \[ \int_{{\mathfrak B}}\int_{{\mathfrak B}}f(|{\mathfrak p}{\mathfrak p}_1{\mathfrak p}_2|) \cdot dF_1 \cdot dF_2 \] denselben Wert, so ist \(\mathfrak B\) eine Ellipse.