Fundamentalsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Q1466168)

Von den beiden hier als Fundamentalsätze bezeichneten allgemeinen Aussagen stützt sich die zweite, die eine namhafte Erweiterung des Bayesschen Theorems darstellt, auf die leicht zu erweisende analytische Tatsache; daß\ für eine unendliche Folge von Funktionen \(f_1(x), f_2(x),\dots\) der reellen Variablen \(x,\) die an den Stellen \(x = a_1, a_2, \dots\) den Wert 1, die erste Ableitung 0 und die zweite Ableitung \(- 2s_1^2, - 2s_2^2, \dots\) besitzen: \[ (\text{a})\quad \lim_{n \to\infty}\left[f_1\left(a_1 + \frac {u}{r_n}\right)\cdot f_2\left(a_2 + \frac {u}{r_n}\right)\cdots f_n\left(a_n + \frac {u}{r_n}\right)\right] =e^{-u^2} \] wird, mit \(r_n^2 = s_1^2 + s_2^2 + \cdots + s_n^2.\) Das Bayessche Theorem in der Laplaceschen Fassung geht hieraus hervor, wenn man für alle \(f\) durchweg const. \(x^\alpha (1- x)^{1-\alpha}\) im Bereich \(0 \leqq x \leqq 1\) und Null außerhalb dieses Bereiches setzt. Neben (a) besteht auch unter gewissen Voraussetzungen die analoge Aussage über den Grenzwert des unbestimmten Integrales des linksstehenden Produktes, und es gelten mehrere Corollase, namentlich eines betr. die Ausdehnung auf mehrere unabhängige Variable. Das Ergebnis, das im ``zweiten Fundamentalsatz'' unter Verwendung einer entsprechenden Terminologie zum Ausdruck gebracht wird geht im wesentlichen dahin, daß\ \textit{stets}, und zwar auch bei beliebiger Annahme über die a priori-Wahrscheinlichkeit, beim Rückschluß\ \textit{aus einer sehr großen Zahl von Beobachtungen auf} die Wahrscheinlichkeit einer ``Ursache'' das Gaußsche Gesetz zur Geltung kommt. Die Gleichung (a) dient andrerseits zur Ableitung weiterer analytischer Sätze über ``Integralprodukte'' von Funktionen, die zum \textit{zweiten} Fundamentalsatz führen. Dieser enthält als spezielle Fälle das Bernoullische und Poissonsche Theorem, den Laplaceschen Satz über den Grenzwert von Wahrscheinlichkeiten und den Hauptsatz der Gaußschen Fehlertheorie. Zum erstenmal werden hier exakte Bedingungen für die Elementarfehlergesetze \(v_1(x), v_2(x), \dots\) gegeben, die erfüllt sein müssen, damit durch ihre Superponierung das Gaußsche Fehlergesetz entsteht. Soll nämlich bei gewissen Werten der Konstanten \(r_n\) und \(b_n\) \[ (\text{d})\quad \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \cdots\int_{-\infty}^\infty v_1(x_1)v_2(x_2)\dots v_n(x_n)dx_1dx_2\dots dx_{n-1} = \frac {1}{\sqrt \pi} e^{-u^2} \] \[ \text{mit } x_1 + x_2 + \cdots + x_n = r_nu + b_n \] gelten, so müssen die \(v_x\) im wesentlichen von \textit{gleichmäßig beschränkter Schwankung} sein. Andrerseits besteht der immer schon vermutete analoge Satz im Bereich unstetiger Wahrscheinlichkeiten: \[ (\text{e}) \quad \lim_{n\to\infty} r_n \sum_{x_1}\sum_{x_2}\cdots \sum_{x_{n-1}}{\mathfrak v}_1(x_1){\mathfrak v}_2(x_2) \dots {\mathfrak v}_n(x_n) = \frac {1}{\sqrt \pi} e^{-u^2} \] bei gleicher Bedeutung von \(u,\) im wesentlichen dann, wenn für jedes \(\kappa\) wenigstens \textit{zwei unmittelbar aufeinanderfolgende} Wahrscheinlichkeiten \({\mathfrak v}_\chi(m_\chi)\) und \({\mathfrak v}_\chi (m\chi + 1)\) von Null verschieden sind. Setzt man \({\mathfrak v}_\chi (0) = p_\chi, {\mathfrak v}_\chi (1) = q_\chi\) und alle anderen \(\mathfrak v\)-Werte Null (mit \(p_\chi + q_\chi = 1),\) so erhält man die Poissonsche, und wenn alle \(p_\chi\) untereinander gleich sind, die Bernoullische Aufgabe. Das, was als Lösung dieser Aufgaben bisher bekannt war, ist die durch unbestimmte Integration aus (e) oder (d) hervorgehende Aussage, die unter Verwendung Stieltjesscher Bezeichnungsweise geschrieben werden kann: \[ \begin{multlined} (\text{c})\quad \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty\int_{- \infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty V_n(x_n) dV_{n- 1}(x_{n-1})dV_{n-2}(x_{n-2})\cdots dV_1(x_1)\\ = \frac {1}{\sqrt\pi}\int_{-\infty}^u e^{-x^2}dx,\end{multlined} \] wo die \(V\) die unbestimmten Integrale (Summen) der \(v\) bezw. \(\mathfrak v\) sind. Unter Anlehnung an einen von Tschebyscheff und Markoff herrührenden Beweisgang wird gezeigt, daß\ (c) noch bedeutend umfassender gilt als (d) oder (e): Der erste Fundamentalsatz sagt aus, in welch universaler Weise \textit{jede Durchschnitts- oder Summenbildung aus sehr vielen Beobachtungen} zum Gaußschen Gesetz führt.