Foundations of probability theory. (Q1466169)

In dieser Arbeit wird der Versuch gemacht, durch einen neuartigen systematischen Aufbau die Wahrscheinlichkeitsrechnung als eine mathematische Disziplin zu begründen. Gegenüber der sonst allgemein verwendeten Definition der Wahrscheinlichkeit als des Quotienten der einem Ereignis ``günstigen'' Fälle durch alle ``gleichmöglichen'' erscheint hier die Wahrscheinlichkeit als \textit{Grenzwert} der innerhalb eines sog. Kollektivs bestehenden \textit{relativen Häufigkeiten} des Auftretens einzelner Merkmale, ``\textit{Kollektiv}'' heißt eine unendliche Folge von Elementen, deren jedem eine Gruppe von \(k\) Zahlen oder ein Punkt des \(k\)-dimensionalen Merkmalraumes als Merkmal zugeordnet ist; die beiden grundlegenden Axiome fordern einmal, daß\ für jede Gesamtheit von Merkmalen (Punktmenge im Merkmalraum) der eben genannte \textit{Limes existiert}, und zweitens, daß\ die Zuordnung der Merkmale an die Elemente in bestimmter Weise ``regellos'' oder ``\textit{zufallsartig}'' erfolgt (Prinzip von der Unmöglichkeit eines Spielsystems). Alle Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung bestehen darin, daß\ aus den gegebenen oder angenommenen Wahrscheinlichkeiten in einzelnen Ausgangs-Kollektivs die Wahrscheinlichkeiten in daraus abgeleiteten Kollektivs berechnet werden. Vier Grundoperationen beherrschen diese Ableitungen und ergeben in ihren mannigfachen Kombinationen den gesamten bisher behandelten.Problemkreis. An einzelnen Beispielen wird gezeigt, wie bei Durchführung dieser Auffassung die bekannten Paradoxien und Unbestimmtheiten aus der Theorie verschwinden. Schließlich wird das Poissonsche Gesetz der großen Zahl allgemein bewiesen, in das Lehrgebäude eingeordnet und ihm ein analoges ``zweites Gesetz der großen Zahl'' aus dem Ideenkreis des Bayesschen Problems zur Seite gestellt.