Invarianz und Umkehrung von Projektivitäten und Kollineationen. (Q1466413)

Durch einen Kegelschnitt \(c^2\) und eine Gerade \(p\) sind \(\infty^1\) projektive Punktreihen auf \(c^2\) mit der Projektivitätsachse \(p\) definiert. Sie bilden einen ``Büschel projektiver Punktreihen'' auf \(c^2.\) Alle projektiven Punktreihen auf einem Kegelschnitte \(c^2,\) deren Projektivitäten für einander invariant sind, bilden einen Büschel. Die \(\infty^2\) Involutionen \(A^2,\) die für die Projektivität einer Involution \(K^2\) invariant sind, bilden auf dem Kegelschnitte \(c^2\) einen ``Büschel von Punktinvolutionen''. Kollineationen in einer Ebene, die eine Punktinvolution und eine zu ihr perspektive Strahleninvolution invariant lassen, sind für einander invariant. Alle kollinearen Felder einer Ebene, deren Kollineationen für einander invariant bleiben, bilden ein ``Bündelheer''. Ihr gemeinsames Deckdreieck kann reell sein oder auch zwei konjugiert imaginäre Ecken haben. Die polaren Felder einer Ebene, deren Korrelationen eine gegebene Punkts involution mit einer gegebenen zu ihr perspektiven Strahleinnvolution vertauschen, bilden ein ``Bündelheer''. Das gemeinsame Polardreieck der polaren Felder kann reell sein oder ein Paar konjugiert imaginäre Ecken haben. Das analoge Gebilde im Raume ist der ``Gebüschverband''. Alle kollinearen Räume, deren Kollineationen zwei Punktinvolutionen mit windschiefen Trägern \(u, v\) und folglich auch die sie aus \(u, v\) wechselweise projizierenden Ebeneninvolutionen invariant lassen, bilden einen Gebüschverband. Seine kollinearen Räume haben das nämliche Decktetraeder. Die Ecken des Tetraeders sind reell oder paarweise konjugiert imaginär. Die \textit{Kollineationen zwischen den Räumen eines Gebüschverbandes kollinearer Räume sind füreinander invariant}. Die polaren Räume, deren Korrelationen zwei gegebene Punktinvolutionen auf den windschiefen Trägern \(u, v\) mit den sie aus \(u\) und \(v\) wechselweise projizierten Ebeneninvolutionen vertauschen, bilden einen Gebüschverband. Das gemeinsame Polartetraeder der Räume kann reelle oder paarweise konjugiert imaginäre Ecken haben. Bezieht man einen Raum korrelativ auf die Räume eines Gebüschverbandes kotlinearer Räume und ist er polar korrelativ zu zwei Räumen des Gebüschverbandes, so ist er polar korrelativ zu allen seinen Räumen. \textit{Die erzeugten polaren Räume bilden einen Gebüschverband, und ihre Korrelationen kehren die Kollineationen zwischen den Räumen des Gebüschverbandes kollinearer Räume um}. Diese Sätze waren bisher einwurfsfrei nur für reelle Tetraeder von v. Staudt bewiesen worden. Im Zusammenhange mit ihnen ergibt sich die Bestimmung eines tetraedralen Strahlenkomplexes durch das Haupttetraeder und einen zu seinen Kanten windschiefen Komplexstrahl auch für den Fall, daß\ seine Ecken paarweise konjugiert imaginär sind sowie eine synthetische, aus reellen Elementen sich organisch auf bauende Konstruktion einer kubischen Raumkurve aus drei Paaren ihrer konjugiert imaginären Punkte.