Über nichtaffine Raumkollineationen. (Q1466416)

Die Gruppe der \(\infty^{15}\) Raumkollineationen wird je nach der Lage der Doppelpunkte, also je nach der Natur der Wurzeln der charakteristischen Gleichung in Klassen eingeteilt. Diese Einteilung ist nicht invariant gegenüber einer Koordinatentransformation; man kann die Räume vor Anwendung der Kollineation verschieben, die kollineare Beziehung bleibt dabei ungeändert, aber die Doppelelemente ändern sich; eine Kollineation, die vor der Verschiebung einer gewissen Blasse angehört, kann in eine andere Klasse kommen. Demgegenüber wird in der vorliegenden Arbeit eine Einteilung der nicht affinen Raumkollineationen aufgestellt, die \textit{gegenüber orthogonalen Transformationen invariant bleibt}. Es wird der folgende Satz bewiesen: Für jede nicht affine Raumkollineation läßt sich ein bestimmtes Koordinatensystem in jedem der beiden Räume angeben; in welchem die Kollineationsformeln die einfache Form \[ (1)\quad x' = \frac{\alpha x}{z}, \;y' = \frac {\beta y}{z}, \;z' = \frac \gamma z \] annehmen. (Die betr. Formeln (11) der Arbeit enthalten einen Druckfehler.) Die Größen \(\alpha, \beta, \gamma\) sind stets von Null verschieden und invariant gegenüber orthogonaden Transformationen. \(\gamma\) heißt die Hauptinvariante, \(\alpha, \beta\) die Nebeninvarianten der Kollineation. Zwei Kollineationen mit denselben Invarianten sind identisch, sie können sich aber auf verschiedene Koordinatensysteme beziehen. Weiter wird gezeigt: 1. Zwei kollinear aufeinander bezogene Räume lassen sich dann und nur dann in \textit{perspektive Lage} bringen (und zwar auf zwei verschiedene Arten), wenn die Kollineation gleiche Nebeninvarianten besitzt. Die Kollineation heißt dann rotatorisch (sphaeroidal), und es gibt in jedem der beiden Räume ein Kugelbüschel, so daß\ jeder Kugel des einen Büschels eine Kugel des anderen entspricht. 2. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ zwei kollinear aufeinander bezogene Räume sich in \textit{geschart kollineare} Lage bringen lassen, d. h. daß\ es zwei Gerade (Kollineationsachsen) gibt, deren Punkte sämtlich Doppelpunkte der Kollineation sind, ist das Bestehen der Gleichung \(\gamma = -\alpha \beta.\) Die beiden Räume haben alsdann die \(z\)-Achse gemeinsam, die Kollineationsachsen sind zur \(xy\)-Ebene parallel. Der Ort der Kollineationsachsen in einem Raum (wenn der andere sich um die \(z\)-Achse schraubt) ist eine Regelfläche vierter Ordnung. 3. Die nach 1. bei zwei kollinearen Räumen in perspektiver Lage \((\alpha= \beta)\) einander entsprechenden Kugelbüschel haben dann und nur dann eine Kugel gemeinsam, die bei der Kollineation in sich selbst übergeht, wenn die Bedingung \(\alpha^2 = \beta^2 = \pm \gamma\) erfüllt ist. Fügt man eine beliebige Drehung des einen Raumes um den Kugelmittelpunkt hinzu, so hat man die allgemeinste nicht affine Kollineation, welche die Kugel auf sich selbst abbildet. Sie ist mit der \textit{Lorentztransformation} identisch. 4. In beiden Räumen gibt es zwei einander entsprechende Systeme konfokaler Flächen zweiter Ordnung. Ist \(\alpha = \beta,\) d. h. lassen sich die Räume in perspektive Lage bringen, so bestehen die beiden Systeme aus Rotationsflächen. Ist \(\gamma^2 = \alpha^2 \beta^2\) d, h. lassen sich die Räume in geschart kollineare Lage bringen, so fallen die beiden Systeme zusammen, und jede Fläche des Systems geht in eine andere desselben Systems über. Zum Schluß\ wird die Aufgabe behandelt. eine durch die allgemeinen Gleichungen \(\varrho x_1' = a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + a_{i3}x_3 + a_{i4}x_4 (i=1, 2, 3, 4)\) gegebene Kollineation auf die Form (1) zu bringen und die Invarianten als Funktionen der \(a_{ik}\) darzustellen.