Über zwei Konfigurationen. (Q1466420)

Bestimmt man solche Punktepaare, die einen Eckpunkt eines vollständigen \(n\)-Ecks \(D^{(n)}\) von den übrigen \(n -1\) Eckpunkten harmonisch trennen, dann treffen die Geradenpaare, die die Punkte pedes Paares mit den Punkten änderer Paare verbinden, die übrigen \({n-1\choose 2}\) Seiten in ebensovielen Punktepaaren, die die Eckpunkte auf diesen Seiten ebenfalls harmonisch trennen. Diese \({n\choose 2}\) Punktepaare geben \(2{n\choose 2}\) Punkte, die zu dreien auf \(4{n\choose 3}\) Geraden liegen, so daß\ durch jeden Punkt \(2(n-2)\) Geraden gehen, und bestimmen daher eine Konfiguration \(k_n =\left(4{n\choose 3}_3,2{n\choose 2}_{2(n-2)}\right)\), deren Diagonal-\(n\)-Eck das angenommene \(D^{(n)}\) ist. Von der zu \(k_n\) dualen Konfiguration ist die Konfiguration der Mittelpunkte der einbeschriebenen Kreise der in einem vollständigen \(n\)-Seit enthaltenen Dreiecke ein besonderer Fall. Die \(4{n\choose 3}\) Geraden der Konfiguration \(k_n\) berühren zu sechsen \(16{n\choose 4}\) Kegelschnitte, jede der Geraden berührt deren \(6(n - 3).\) Nimmt man auf den aus einem Eckpunkt ausstrahlenden \(n -1\) Seiten eines \(n\)-Ecks im Raume solche Punktepaare an, die die Ecken harmonisch trennen, dann treffen die Geradenpaare, die die Punkte jedes Paares mit den Punkten der anderen verbinden, die übrigen \({n-1\choose 2}\) Seiten in ebensovielen Punktepaaren, die die Ecken daselbst ebenfalls harmonisch trennen. Die \(2{n\choose 2}\) Punkte liegen zu dreien auf \(4{n\choose 3}\) Geraden und zu sechsen auf \(8{n\choose 4}\) Ebenen; auf jeder Ebene liegen vier Geraden, und durch jede Gerade gehen \(2(n - 3),\) durch jeden Punkt \(2(n - 2)(n - 3)\) solche Ebenen. Die Ebenen, Geraden und Punkte bilden also eine Konfiguration \(K_n =\left( 8{n\choose 4}_{4,6}, 4{n\choose 3}_{2(n-3),3}, 2{n\choose 2}_{2(n-2)(n- 3),2(n-2)}\right)\) von der das angenommene \(n\)-Eck das Diagonal-\(n\)-Eck ist. Ein Sonderfall der dualen Konfiguration ist die Konfiguration der Mittelpunkte der einbeschriebenen Kugeln der in einem vollständigen \(n\)-Flach enthaltenen Tetraeder. Die Ebenen von \(K_n\) berühren zu zwölfen \(80{n\choose 5}\) Flächen zweiter Ordnung \(F^{(2)}\) und zu sechsen ebensoviele Kegel zweiter Ordnung \(K^{(2)};\) eine jede der Ebenen berührt \(24(n-4)\) dieser Flächen \(F^{(2)}\) und \(12(n-4)\) dieser Kegel \(K^{(2)}.\) Die Flächen sind zu vieren den Kegeln einbeschrieben, und die Kegel sind zu vieren den Flächen umbeschrieben. Jeder Punkt der Konfiguration ist der Scheitel von \(4{n-2\choose 3}\) dieser Kegel; von den Kegeln berühren \(2(n -4)\) eine beliebige durch irgendeinen Konfigurationspunkt gehende Ebene der Konfiguration.