Sulle corrispondenze quadrilineari tra forme di \(1^{\text a}\) specie e su alcune loro rappresentazioni spaziali. (Q1466461)

Eine ``quadrilineare Verwandtschaft'' oder kürzer ``eine Quadrilinearität'' zwischen vier rationalen Gebilden 1. Stufe wird durch eine Gleichung der Form \[ (1)\quad f (x, y, z, u) = 0 \] dargestellt, wo \(f\) linear in jeder der Veränderlichen ist. Macht man von homogenen Koordinaten Gebrauch, so kann die Gleichung (1), wie folgt, geschrieben werden \[ (2)\quad \sum a_{iklm} x_i y_k z_l u_m =0, \] wobei die Indices die Werte 1, 2 durchlaufen. Man erhält z. B. eine Quadrilinearität, wenn man vier beliebige Geraden durch alle Ebenen des Raumes schneidet. Die Determinanten \[ L =\left|\begin{matrix} a_{1111}& a_{1211}& a_{2111}& a_{2211}\\ a_{1112}& a_{1212}& a_{2112}& a_{2212}\\ a_{1121}& a_{1221}& a_{2121}& a_{2221}\\ a_{1122}& a_{1222}& a_{2122}& a_{2222} \end{matrix} \right|, M =\left|\begin{matrix} a_{1111}& a_{2111}& a_{1121}& a_{2121}\\ a_{1112}& a_{2112}& a_{1122}& a_{2122}\\ a_{1211}& a_{2211}& a_{1221}& a_{2221}\\ a_{1212}& a_{2212}& a_{1222}& a_{2222} \end{matrix} \right|, N=\left|\begin{matrix} a_{1111}& a_{1112}& a_{2111}& a_{2112}\\ a_{1121}& a_{1122}& a_{2121}& a_{2122}\\ a_{1211}& a_{1212}& a_{2211}& a_{2212}\\ a_{1221}& a_{1222}& a_{2221}& a_{2222} \end{matrix} \right|, \] zwischen denen die Beziehung \(L + m - N = 0\) statt hat, sind Invarianten, deren geometrische Bedeutung Verf. entwickelt. Daraus folgt eine Methode, um die möglichen Fälle der Quadrilinearität und die entsprechendenkanonischen Gleichungen zu bestimmen; besonders bemerkenswert sind die Fälle mit den Gleichungen \[ x_1y_1z_1u_1 + x_2y_2z_2u_2 = 0 \] und \[ a_1x_2y_1z_1u_1 + a_2x_1y_2z_1u_1 + a_3x_1y_1z_2u_1 + a_4x_1y_1z_1u_2 + a_0x_1y_1z_1u_1 =0. \] Seien nun \(X_{11}, X_{12}, X_{21}, X_{22},\) und \(X_{11}', X_{12}', X_{21}', X_{22}',\) die homogenen Koordinaten zweier Punkte des Raumes; setzt man \[ X_{ik} = x_i y_k,\;X_{lm}' = z_lu_m \;(i, k, l, m =1, 2), \] so erhält man die paraunetrischen Darstellungen der Quadriflächen \[ X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21} = 0, \;X_{11}'X_{22}'- X_{12}'X_{21}' = 0, \] während die Gleichung (2) in die folgende transformiert wird: \[ \sum a_{iklm}X_{ik}X_{lm}' = 0. \] Auf diese Weise wird die Quadrilinearität auf eine Reziprozität zwischen zwei gewöhnlichen Räumen bezogen; daraus folgt eine neue Methode zur Erforschung der quadrilinearen Verwandtschaften, welche der Verf. zur Ableitung neuer Resultate anwendet. Unter diesen heben wir nur die Betrachtungen über die Quadriflächen in der Kohn'schen Lage (Monatsh. f. Math. 11, 102, 1900) hervor.