Die Verallgemeinerung der Feuerbachschen Sätze über den Neunpunktekreis. (Q1466503)

Die Verallgemeinerung besteht in dem Ersatz des Feuerbachschen Kreises durch einen Regelschnitt: Nimmt man in der Ebene eines Dreiecks ein Punktepaar an und projiziert aus dem harmonischen Pol der Verbindungsgeraden des Paares die Ecken des Dreiecks auf die Gegenseiten, so geht durch diese drei Projektionen und durch das Punktepaar ein bestimmter Kegelschnitt. Projiziert man aus den Ecken des Dreiecke diejenigen drei Punkte auf die Gegenseiten, die das Punktepaar von diesen Gegenseiten harmonisch trennen, so liegen dieselben auf dem Kegelschnitt, und die projizierenden Strahlen treffen sich in einem Punkte. Auf der Harmonikalen dieses Punktes sind die Projektionen der Ecken aus dem früheren harmonischen Pol konjugierte Pole zu den Treffpunkten mit den Gegenseiten, so daß\ der Kegelschnitt auch durch die Doppelpunkte der durch diese Pole bestimmten Involution geht. Außerdem liegen noch die sechs Punkte, die die Ecken und die harmonischen Pole von den nicht entsprechenden Harmonikalen harmonisch trennen, auf demselben Kegelschnitt. Sind die zwei angenommenen Punkte die absoluten Punkte, so ist der Kegelschnitt der Feuerbachsche Kreis. Auch der Satz von der Berührung des Neunpunktekreises mit den vier Berührungskreisen des Dreiecks findet seine Verallgemeinerung für Kegelschnitte. Auf das Tetraeder ist weder dieser Satz, noch seine Verallgemeinerung übertragbar. Auf die Anführung weiterer spezieller Ergebnisse in bezug auf den Feuerbachschen Kreis und die Verallgemeinerung muß\ hier verzichtet werden. (V 3.)