Über die harmonischen Kovarianten zweier Kegelschnitte. (Q1466505)

Man vergleiche das Referat F. d. M. 46, 924 (JFM 46.0924.*), 1916-18. Statt des einen Kegelschnitts sind jetzt zwei feste Punkte gegeben, die ``Grundpunkte''; der andere gegebene Kegelschnitt heiße der Grundkegelschnitt. Es ist die harmonische Kovariante zweiter Art zu untersuchen. Man projiziere die Verbindungslinie der Grundpunkte in die unendlich ferne Gerade \(g_\infty,\) ihren Pol für den Grundkegelschnitt in den Anfangspunkt \(O\) rechtwinkliger Koordinaten \(x, y.\) Durch geeignete Drehung des Koordinatensystems läßt sich noch erzielen, daß\ die beiden unendlich fernen Grundpunkte symmetrisch zu den Koordinatenachsen zu liegen kommen. Man hat also in Linienkoordinaten \(u, v\) die beiden Grundgleichungen \[ (1) \quad a_{11} u^2 + 2a_{12}uv + a_{22}v^2 -1 = 0, \] \[ (2) \quad u^2 -c^2v^2 =0. \] Hieraus wird zunächst die Gleichung der harmonischen Kovariante erster Art abgeleitet: sie geht durch die Berührungspunkte der von den Grundpunkten an den Grundkegelschnitt gezogenen Tangenten. Sodann wird die Kovariante zweiter Art untersucht; sie ist eine Kurve vierter Ordnung, die die Grundpunkte zu Doppelpunkten besitzt. Weiter wird eine Parameterdarstellung der Kovariante gegeben; diese Darstellung läßt sich in eine eindeutige umformen. Daraufhin läßt sich die Gestalt der Kovariante bequem, durch numerische Tabellen unterstützt, verfolgen. Hierbei sind die Asymptoten von Bedeutung, deren Koordinaten berechnet werden. Von Interesse ist der besondere Fall, wo man die absoluten Punkte als Grundpunkte wählt.