Eine neue Polarentheorie der Raumkurven dritten Grades. (Q1466607)

Durchläuft ein Strahl \(a''\) eine zur kubischen Raumkurve \(k^3\) perspektive Regelschar zweiter Ordnung, so bleiben seine Polarebenen \(\pi''\) für die zu \(k^3\) perspektiven Strahlenkegel zweiter Ordnung mit einer Bisekante \(p\) der Kurve inzident. Jeder Strahl der Regelschar ist die Polare von \(p\) für einen solchen Kegel, jeder ihrer Leitstrahlen eine Bisekante von \(k^3,\) die \(p\) für alle diese Kegel konjugiert ist. Die Bisekanten von \(k^3,\) welche einer Bisekante \(p\) der Kurve für alle zu \(k^3\) perspektiven Strahlenkegel zweiter Ordnung konjugiert sind, bilden eine Regelschar zweiter Ordnung \(\mathfrak P^2.\) In \(\mathfrak P^2\) liegen, wenn \(p\) eine wirkliche Bisekante. ist, die Tangenten von \(k^3\) in den Schnittpunkten mit \(p\). Die Regelschar \(\mathfrak P^2\) wird zu dem Strahlenkegel, der die Kurve aus einem ihrer Punkte \(P\) projiziert, wenn \(p\) die Tangente von \(k^3\) in \(P\) ist. \(\mathfrak P^2\) kann jede Regelschar zweiter Ordnung der Bisekantenkongruenz \(K_1^3\) von \(k^3\) sein, \(p\) jeder Kongruenzstrahl. Jede Regelschar zweiter Ordnung \(\mathfrak P^2\) von \(K_1^3\) ist so durch die kubische Raumkurve \(k^3\) einem Kongruenzstrahle \(p\) zugeordnet und jede durch \(p\) gehende Regelschar zweiter Ordnung der Kongruenz einem Strahle von \(\mathfrak P^2,\) d. h. \textit{zwischen den Strahlen und Regelscharen der Bisekantenkongruenz einer kubischen Raumkurve besteht eine polare Korrelation}. Jedem Strahle \(p\) entspricht seine ``Polarregelschar''\(\mathfrak P^2,\) jeder Regelschar zweiter Ordnung ihr ``Polarstrahl''. Für jede Tangente von \(k^3\) wird die Polarregelschar zum ``Polarkegel''. Jede Tangente von \(k^3\) liegt aber auf ihrem Polarkegel, folglich sind die Tangenten von \(k^3\) die ``Inzidenzstrahlen'', die \(k^3\) projizierenden Strahlenkegel zweiter Ordnung die ``Inzidenzkegel'' der polaren Kongruenz von \(k^3.\) Die auf den Eigenschaften dieser polaren Kongruenz aufgebaute Polarentheorie der Raumkurven dritten Grades, deren Ergebnisse hier nicht im einzelnen aufgeführt werden können, vereinigt viele zum Teil bekannte Sätze über die Kurven \(k^3\) unter einem einheitlichen Gesichtspunkte. Insbesondere wird der Zusammenhang der polaren Kongruenz der Bisekanten und der dualen polaren Kongruenz der Biplanaren einer Raumkurve dritten Grades mit dem durch die Kurven als Nullkurve bestimmten Nullraume untersucht.