Questioni numerative e loro significato nella geometria sopra le curve algebriche. (Q1466661)

Es handelt sich um gewisse Abzählungsfragen in der Theorie der Punktgruppen auf einer algebraischen Kurve. Es liege eine solche Kurve vom Geschlechte \(p\) vor. Die linearen Reihen, die sich auf der Kurve als rationale Kovarianten gegebener Reihen definieren lassen, können durch Addition und Subtraktion zu einer kanonischen Serie \(g_{2p-2}^{p-1}\) kombinieren. Dieses heuristische Prinzip liefert eine Methode zur Lösung der Abzählungsfragen und erlaubt auch, in gewissen Fällen, zu der gesuchten Formel ihre funktionale Interpretation hinzuzufügen. Der Verf. beschränkt sich auf einige instruktive Beispiele. So erkennt man die funktionale Bedeutung einer bekannten Formel für die Anzahl \(N\) der \(r\)-fachen Punkte einer \(g_n^{r-1}:\) \[ N = nr + \frac {r(r -1)}{2} (2p - 2). \] Weiter wird die Anzahl der Gruppen mit \(r + 1\) Punkten bestimmt, die einer \(g_m'\) und einer \(g_n^r\) gemeinsam sind: sie hat den Wert \[ \{(n-1)(m-1)-p\}\left(\begin{matrix} m-2\\ r-1\end{matrix}\right). \] Damit ergibt sich ein direkter Beweis für die Invarianz der Schnittreihe auf einer ebenen Kurve der Ordnung \(n\) und einer adjungierten Kurve der Ordnung \(n-3.\) Ferner ergibt sich in diesem Zusammenhange eine Schubertsche Formel für die Anzahl der Gruppen von \(r + 1\) Punkten, die einer \(g_n^r\) und einer \(\gamma_m'\) vom Geschlecht \(\pi\) gemeinsam sind, mit dem Werte \[ {m-1\choose r} (n-r)- \left(\begin{matrix} m- 2\\ r-1\end{matrix}\right)(p-m\pi). \]