Über die Konstruktion der \(W\)-Kongruenzen zu einem gegebenen Brennflächenmantel und über die Transformation der \(R\)-Flächen. (Q1466716)

Die auf die Moutardsche Transformation gegründete Theorie der \(W\)-Kongruenzen besitzt, worauf bereits von Picone (Palermo Rend. 37, 212; F. d. M. 45, 929 (JFM 45.0929.*), 1914-15) hingewiesen wurde, eine geringe Anpassungsfähigkeit speziellen Problemen gegenüber. Den Grund dieser Unzulänglichkeit sucht der Verf. in dem Umstande, daß, wenn die transformierende Lösung \(R\) der Moutardschen Gleichung bekannt ist, die Ermittlung der Normalenkosinus und damit der Koordinaten der zweiten Brennfläche noch drei Quadraturen verlangt. Werden mit \(\xi, \eta, \zeta,\) bzw. mit \(\xi_1, \eta_1, \zeta_1,\) die \textit{normierten}, d. h. durch die vierte Wurzel aus dem absoluten Betrage des Krümmungsmaßes dividierten Normalenkosinus für die gegebene und die transformierte Fläche bezeichnet, so gelingt die im Hinblick auf die Spezialfälle angestrebte Beseitigung der Quadraturen durch einen Ansatz von der Form \[ \xi_1 = \frac 1R\left(a\frac {\partial\xi}{\partial \alpha} +b\frac {\partial\xi}{\partial \beta} +c\xi\right). \] Dieser verlangt bei Beziehung auf die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\) der Asymptotenlinien das Bestehen der Differentialgleichungen: \[ (\text a)\quad \frac {\partial a}{\partial\beta} =\left\{\begin{matrix} 2\;2\\ 1\end{matrix} \right\}b,\;\frac {\partial b}{\partial \alpha} =\left\{\begin{matrix} 1\;1\\ 2\end{matrix} \right\}a; \] ein Lösungspaar \(a, b\) gestattet, \(c\) und \(R\) ohne Integralzeichen darzustellen. Die Größe \(R\) bildet also im Gegensatz zur klassischen Theorie hier nicht den Ausgangspunkt, sondern wird erst nachträglich gewonnen. Bei der Berechnung der Elemente der transformierten Fläche, also des zweiten Brennflächenmantels der \(W\)-Kongruenz, erweist sich die Einführung der Funktion \[ \Lambda =a\frac {\partial R}{\partial \alpha} +b\frac {\partial R}{\partial \beta} +cR \] als bedeutungsvoll. Bezüglich des \textit{Vertauschbarkeitssatzes}, der nach Tortorici (Palermo Rend. 35, 289, 1913) zweckmäßig mit der Betrachtung linearer Büschel von \(W\)-Kongruenzen verbunden wird, sei als beachtenswert die Tatsache erwähnt, daß\ man diesen von Bianchi (Lezioni di geometria differenziale 2, 69, 1903) herrührenden, außerordentlich eleganten Satz am leichtesten gewinnt und handhabt, wenn man sich der klassischen, auf die Moutardsche Transformation gegründeten Theorie anschließt. Durch neue, hierher gehörige Formeln wird die Anwendung auf spezielle Flächenklassen vorbereitet. Im Rahmen der vorliegenden Abhandlung werden alsdann die von Demoulin (C. R 153, 590, 705, 797) und Tzitzéica (C. R 153, 1127; 154, 54, 1144) untersuchten \(R\)-Flächen behandelt (wegen weiterer Spezialfälle s. Jonas, Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 19, 18, 1921; Annali di Mat. (3) 30, 223, 1921). Sie sind Träger ausgezeichneter konjugierter Systeme, der \(R\)-Netze, deren Tangenten zwei \(W\)-Kongruenzen bilden, lassen sich bei Beziehung auf die Parameter der Asymptotenlinien durch die Relation \[ \frac {\partial}{\partial \beta}\left\{\begin{matrix} 1\;1\\ 2\end{matrix} \right\} =\frac {\partial}{\partial \alpha}\left\{\begin{matrix} 2\;2\\ 1\end{matrix} \right\} \] charakterisieren und ergeben sich auch als Brennflächen, wenn man nach denjenigen \(W\)-Kongruenzen fragt, für welche die von den Linienkoordinaten erfüllte Laplacesche Differentialgleichung gleiche Invarianten hat. Gewisse Verhältnisse, die in der Transformationstheorie der Biegungsflächen der Flächen zweiten Grades in Errscheinung traten, finden im Bereiche der \(R\)-Flächen, zu denen jene gehören, ihre Verallgemeinerung. Hinsichtlich der Differentialgleichungen (a) bemerkt Fubini (Rom. Acc. L. Rend. (5) \(30_1,\) 273, 1921), daß\ sie, vom projektiven Standpunkt aus eingeführt, sich schon in seiner kurz vorher erschienenen Abhandlung Palermo Rend. 43, 1918-19 finden. Der Verf. (und gleichzeitig Ref.) der vorliegenden Arbeit gestattet sich hier die Feststellung; daß\ er die genannten Formeln in einer Fußnote auf S. 48 als gleichwertig mit denjenigen bezeichnet hat, die Demoulin bereits 1911 (C. R 153, 797) für die Richtungsparameter der eins \(W\)-Kongruenz bildenden Tangenten gegeben hat.