Über die Zerlegung eines beliebigen Vektorfeldes. (Q1466860)

Vektoranalytische Herleitung der Formeln von Clebsch für die angegebene Feldzerlegung. Ist \(\mathfrak A\) der Feldvektor und zerlegt man \(\mathfrak A = \) -- grad \(\varphi -\lambda\) grad \(\psi\) in einen wirbelfreien und einen lamellaren Teil, so bestimmen sich \(\lambda, \psi\) aus den Differentialgleichungen \(\text{grad}\psi\text{rot}\mathfrak A= 0, \text{grad}\lambda\text{rot} \mathfrak A = 0,\) d. h. aus der vektoriellen Differentialgleichung der Wirbellinien des Feldes, wobei man mit Nutzen das Verfahren des Jacobischen letzten Multiplikators anwenden kann, und \(\varphi\) ist durch eine Quadratur \[ \varphi =-\int \frac{{\mathfrak A}\text{ rot }{\mathfrak A}}{\text{grad }\tau \text{ rot }{\mathfrak A}}d\tau \] bestimmt, wo \(\tau\) irgendein Skalar des Feldes ist. -- Anwendungen auf besondere Fälle.