Zur Frage über den Beweis des Kräfteparallelogramms. (Q1466887)

``Um uns in dem Beweise der Regel des Kräfteparallelogramms von der lästigen Beschränkung, welche von einer gewissen Funktion die Existenz ihrer Ableitungen erster und zweiter Ordnung verlangt, zu befreien, können wir in dem Poissonschen Beweise der Rhombusregel ein System von vier nicht in einer Ebene, sondern in der Richtung der Kanten einer Pyramide liegenden Kräftten benutzen. Wenn die Größe \(R\) der Resultierenden von zwei Kräften, deren Intensität gleich 1 ist und welche untereinander den Winkel \(2\alpha\) einschließen, gleich \(\varphi (\cos \alpha)\) gesetzt wird, so führt uns die erwähnte Modifikation des Poissonschen Beweises auf folgende Gleichung hin: \[ (*)\quad \varphi (\cos \alpha \cos \beta) = \varphi (\cos \gamma_1) +\varphi \varphi (\cos \gamma_2), \] wo: \[ \begin{aligned} \cos \gamma_1& = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \cos A,\\ \cos \gamma_2& = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \cos A\end{aligned} \] und \(A, \alpha, \beta\) beliebige Winkel bedeuten. Für \(A = 90^\circ \) unter der Benutzung einiger Eigenschaften der Funktionalgleichung \(f (x + y) = f (x) + f (y)\) beweist man, daß\ \(\varphi (\cos \alpha) = 2 \cos \alpha:\) daraus erhält man die Rhombusregel. Zu der Herleitung genügt es nur, die Eigenschaften der Resultierenden, welche von Darboux in seiner Abhandlung im Darboux Bull. 1875, 281, festgesetzt sind, vorauszusetzen. Die Poissonsche Gleichung erhält man aus der Gleichung \((*)\) unter der Annahme \(A = 0^\circ.\)''