Plane stress and plane strain in bipolar coordinates. (Q1466995)

Der Aufsatz bringt eine elegante Lösung des Scheibenproblems, also der Gleichung \(\nabla^4 \chi= 0\) in Bipolarkoordinaten bei zwei kreisförmigen Berandungen, von denen eine speziell geradlinig sein kann, wenn auf ihnen die Spannungen vorgegeben sind. Die Ausdrücke für die Verschiebungen und für die Spannungen und die Differentialgleichung der Spannungsfunktion werden aufgestellt unter Verwendung der zwei bekannten orthogonalen Kreisbüschel als krummliniger Koordinaten. Alsdann wird die Lösung bestimmt, wobei Fourierreihen nach der einen (Winkel-)Koordinate angesetzt werden. Die Glieder, die zu mehrdeutigen Verschiebungen Anlaß\ geben, werden ausgeschieden. Hierauf werden die Fourierkoeffizienten der Entwicklung aus den an den zwei kreisförmigen Rändern vorgegebenen Spannungen bestimmt. Die Konvergenz der Reihen wird untersucht, und die Lösung wird als allgemein nachgewiesen für Randspannungen, die als Ganzes ein Gleichgewichtssystem bilden. Die drei letzten Abschnitte enthalten wichtige Spezialfälle der hiermit gefundenen allgemeinen Lösung. Das exzentrisch durchbohrte Rohr unter Innen- und Außendruck wird ausführlich behandelt; insbesondere werden die größten Spannungen berechnet. Läßt man den äußern Rand in eine Gerade übergehen, so erhält man eine durchlochte unendliche Halbebene, die am Lochrand Druck erleidet. Endlich wird noch dieselbe unendliche durchlochte Halbebene mit spannungsfreiem Lochrand behandelt, wenn sie im Unendlichen einen homogenen Zug parallel zur geradlinigen Begrenzung der Halbebene erleidet. In allen diesen Fällen geht die Diskussion bis zum Schluß, und die Resultate sind in Form von Diagrammen dargestellt.