Die Theorie des Balkens in der technischen Elastizitätslehre. (Q1467029)

Die Castiglianoschen Sätze der Elastizitätstheorie bilden in der technischen Literatur ein Gebiet, das unabhängig von den anderen Prinzipien der Mechanik abgeleitet wurde und daher auch von völlig selbständigem Charakter erscheinen könnte. In der Tat ist ihr (wohl zuerst von K. Heun betonter) Zusammenhang mit den Prinzipien der Mechanik in der Literatur noch nicht ausführlich zum Ausdruck gekommen. (Vergleiche indes: Encykl. der math. Wiss. IV, 30, S. 654, E. Hellinger.) In der vorliegenden Arbeit wird er zum ersten Male systematisch entwickelt. Sie behandelt den kontinuierlich belasteten und unterstützten Balken in der Auffassung der technischen Festigkeitslehre als ein aus aneinandergereihten Scheiben zusammengesetztes lineares Gebilde. Sein Gleichgewicht bestimmt sich aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit. Da im Castiglianoschen Gedankengang (der übrigens in der technischen Literatur meist nur auf das Fachwerk angewandt wird) nicht nach den Deformationskomponenten, sondern nur nach den Spannungen im elastischen System gefragt wird, ist es naturgemäß, auf das Arbeitsprinzip eine kanonische Transformation anzuwenden. Sie führt als unabhängige Größen die Spannungen ein, die ja die partiellen Ableitungen der Formänderungsarbeit nach den Deformationen sind. Die kanonischen Gleichgewichtsbedingungen sind dann die Castiglianoschen Sätze, das Arbeitsprinzip erscheint in dieser Gestalt als Menabreasches Prinzip. Diese Darstellung setzt (auch in der besprochenen Arbeit, wie überhaupt in der technischen Literatur), noch das Hookesche Gesetz voraus, nach dem die Deformationsarbeit eine homogene quadratische Funktion der Deformations- bzw. der Spannungskomponenten ist. Diese Voraussetzung ist aber natürlich für die Anwendung der kanonischen Transformation nicht notwendig. Die Sätze von Castigliano und Menabrea gelten also auch ohne sie; nur müßte bekanntlich dann an Stelle der Formänderungsarbeit eine andere Funktion eingeführt werden, die mit ihr in analogem Zusammenhang steht wie die Routhsche Funktion der Mechanik mit der Lagrangeschen Funktion.