Come potrebbe un conservatore giungere alla soglia della nuova meccanica. Conferenza tenuta al Seminario Matematico della R. Università di Roma. (Q1467121)

Der Verf. zeigt, wie man einen ``Konservativen'' nach und nach von den Begriffen der klassischen Mechanik zu denen der allgemeinen Relativitätstheorie hinüberleiten kann. Er geht von dem Hamiltonschen Integral \(\int L\,dt\) aus, wo \(L\) die Lagrangesche Funktion bedeutet. Dabei ist \(L = \frac 12 \left( \frac {dl_0}{dt}\right)^2-U; U\) ist die potentielle Energie, \(dl_0^2\) eine quadratische Funktion der \(dx_1, dx_2, dx_3\), d. i. der Differentiale der generalisierten Koordinaten. Die aus dem Hamiltonschen Prinzip entspringenden Bewegungsgleichungen sind invariant gegenüber jeder Transformation der \(x_j,\) die auch die Zeit enthalten kann, d. h. die transformierten Gleichungen drücken sich durch die Koeffizienten des transformierten \(dl_0^2\) ebenso aus wie die ursprünglichen Gleichungen durch die alten Koeffizienten. Wird aber auch das \(t\) selbst transformiert, wobei die Transformation auch die Koordinaten enthält, hört diese Invarianz auf. Man kann sie aber auch auf diesen Fall ausdehnen, wenn man die Lagrangesche Funktion durch eine andere ersetzt, die nur wenig von der ersten abweicht. Es sei \(c\) eine so große Geschwindigkeit, daß\ für jede empirische Geschwindigkeit \(v\) und jede empirische Energie \( \frac {v^2}{c^2}\) und \( \frac {U}{c^2}\) klein gegen 1 sind; dann setzt man an Stelle des Hamiltonschen Prinzips, das man ja auch \(\delta \smallint (c^2- L) \,dt = 0\) schreiben kann, die nur wenig davon abweichende Forderung \[ \delta \int \sqrt{c^2-\left( \frac{dl_0}{dt}\right)^2 +2U} \,dt =0, \] diese kann man auch \(\delta \int \,ds = 0\) schreiben, wobei \(ds^2 = (c^2 + 2U) dt^2 - dl_0^2.\) Bei einer Transformation aller vier Veränderlichen \(x_1, x_2, x_3, t\) geht \(ds^2\) in eine quadratische Form der vier neuen Koordinatendifferentiale über, und die zu der neuen Form des Hamiltonschen Prinzips gehörenden Bewegungsgleichungen sind diesen Transformationen gegenüber im selben Sinn invariant, wie die alten Lagrangeschen Gleichungen gegenüber den Transformationen in drei Variablen. Für die kraftfreie Bewegung ist insbesondere \(ds^2 = c^2dt^2-dl_0^2\) und \(\left( \frac {dl_0}{dt}\right)^2 =c^2\), d. h. \(ds = 0\) gibt eine allseitige Ausbreitung mit der großen Geschwindigkeit \(c,\) die wir als Lichtausbreitung auffassen. Es ist dann naheliegend, überhaupt \(ds = 0\) als Gleichung der Lichtausbreitung anzusehen, woraus in einem Kraftfeld \( \frac {dl_0}{dt} = v = c\left(1+ \frac {U}{c^2}\right)\) folgt, also eine Ablenkung der Lichtstrahlen durch das Kraftfeld. Man wird dann weiter dazu geführt, jedes System von Differentialgleichungen, das ein Gebiet der mathematischen Physik beherrscht, in ähnlicher Weise zu verallgemeinern. Jedes solche System wird ja invariant gegenüber allen Koordinatentransformationen, so daß\ die transformierten Gleichungen sich in den Koeffizienten des transformierten \(dl_0^2\) immer in gleicher Weise ausdrücken. Es liegt nun nahe, zu einem Gleichungssystem überzugehen, das sich im statischen Fall \((dt = 0)\) auf das gegebene reduziert, im allgemeinen aber sich bei jeder Transformation der Koordinaten und der Zeit in den Koeffizienten des transformierten \(ds^2\) in gleicher Weise ausdrückt. Auf diese Weise entsteht ein Einfluß\ des Potentials \(U\) auf alle Naturvorgänge, also eine wechselseitige Beeinflussung aller Naturerscheinungen. Und das ist charakteristisch für die allgemeine Relativitätstheorie.