Comment un conservateur pourrait-il arriver au seuil de la mécanique nouvelle ? (Q1467122)

Die Gleichungen der Bewegung eines Punktes in einem konservativen Kraftfeld vom Potential \(U\) können nach Hamilton in die Form gesetzt werden \[ (1)\quad \delta\int Ldt =0\text{ mit }L = \frac 12 v^2 =U, \] wobei sich die Variation nur auf die räumlichen Variablen bezieht. Die Lagrangeschen Gleichungen \[ \frac{d}{dt}\left(\frac {\partial L}{\partial \dot x_i}\right)- \frac {\partial L}{\partial x_i} =0 \] sind bei festem \(L\) gegen Änderung des Bezugssystems invariant. Aus besagten Gleichungen erhält man identisch \[ \frac {d}{dt}\left( L-\sum_1^3 \frac {\partial L}{\partial \dot x_i}\dot x_i\right)-\frac {\partial L}{\partial t} =0, \] woraus man abliest, daß\ man in dem Variationsprinzip auch die Zeit variieren darf, falls nur die Variationen an den Grenzen verschwinden. Die erhaltenen Gleichungen sind invariant gegen die Transformation \[ x_i = x_i (y_1, y_2, y_3, t), \;i =1,2,3;\;t =\text{ungeändert.} \] Es werde jetzt angenommen, daß\ eine Geschwindigkeit \(c\) existiert derart, daß\ die Zahlen \(v^2c^{-2}, Uc^{-2}\) vernachlässigt werden können. Das Variationsprinzip (1) geht wegen \[ \delta \int dt =0\text{ über in }\delta \int (c^2-L)dt =0, \] oder kurz \[ \delta \int ds =0\text{ mit }ds^2 =(c^2-2U)dt^2-dl^2(\text{wo }dl^2 =dx^2 +dy^2 +dz^2). \] Die Gleichungen, die man aus der neuen Form des Variationsprinzipes erhält, sind bei festem \(ds^2\) invariant gegen jede Transformation des Raumes \(V_4(x, y, z, t).\) Daraus ergibt sich die Wichtigkeit der Lorentz-Transformationen, die \(ds^2\) bei \(U = 0,\) also \(ds_0^2 = c^2dt^2- dl^2\) ungeändert lassen. Die Interpretation des Michelsonschen Versuches führt zur Gleichsetzung von \(c\) mit der Lichtgeschwindigkeit bei Abwesenheit jeder Störung, d. h. bei \(U = 0.\) Falls \(U \neq 0,\) erhält man den (krummen) Verlauf der Lichtstrahlen. Die Gleichungen der mathematischen Physik müssen daher so geändert werden, daß\ sie bei festem \(ds_0^2\) invariant sind. Es ergibt sich die bemerkenswerte Tatsache, daß\ dies bei den Gleichungen des Elektromagnetismus bereits der Fall ist. Man kann jedoch noch weiter gehen und annehmen, daß\ \(ds^2\) nicht nur vermittels des Potentials \(U\) -- dem Einfluß\ der Massen unterliegt, sondern auch dem jeder anderen Physikalischen Größe. Die Beziehung zwischen dem \(ds^2,\) von dem die Maßbestimmung des Raumes und der Zeit abhängt, und der Gesamtheit der physikalischen Erscheinungen bildet die qualitative Seite der allgemeinen Relativitätstheorie. In quantitativer Hinsicht kommt man zu den zehn Gleichungen Einsteins zwischen den Koeffizienten von \(ds^2.\)