Eine neue Erweiterung der Relativitätstheorie. (Q1467145)

Der Verf. gibt eine Weiterentwicklung seiner in früheren Arbeiten (Berl. Ber. 1918 und Math. Zeitschr. 2, 1918) begründeten Theorie über den Zusammenhang von Elektrizität und Gravitation. Im Kap. I stellt er die mathematischen Grundlagen nochmals zusammen. Im Kap. II (Feldgesetze und Erhaltungssätze) geht er von einem Wirkungsprinzip aus, und zwar einem Integral \(\int {\mathfrak W}dx\) über ein vierdimensionales Raumgebiet, wobei \({\mathfrak W}\) eine skalare Dichte ist, die sich aus den Koeffizienten der quadratischen Grundform \(g_{ik}\) und ihren ersten und zweiten Ableitungen, sowie aus den Koeffizienten \(\varphi_i\) der linearen Fundamentalform, die das elektromagnetische Feld beherrscht und den ersten Ableitungen der \(\varphi_i\) aufbaut. Durch Variation der \(g_{ik}\) erhält man die Feldgleichungen der Gravitation \({\mathfrak W}^{ik} = 0,\) durch Variation der \(\varphi_i\) die elektromagnetischen Feldgleichungen \({\mathfrak w}= 0.\) Die Wirkungsgröße muß\ aber nicht nur wie in der Einsteinschen Theorie Invarianz gegenüber Koordinatentransformationen besitzen, sondern sie muß\ außerdem unverändert bleiben, wenn alle gar mit einem gemeinsamen Faktor, der eine Funktion der Koordinaten sein kann, multipliziert werden, da nur ihre Verhältnisse eine physikalische Bedeutung haben. Die Wirkungsgröße muß, wie der Verf. sich ausdrückt, ``Eichinvarianz'' besitzen. Wie aus der Forderung der Koordinateninvarianz, wie schon Hilbert, Einstein und Klein gezeigt haben, die Erhaltungssätze der Energie und des Impulses folgten, so zeigt der Verf., daß\ aus der Eichinvarianz eine fünfte Identität zwischen den linken Seiten der Gravitations- und elektromagnetischen Feldgleichungen sich ergibt. Außerdem folgt daraus die Existenz einer Vektordichte \({\mathfrak s}^h\) und einer Tensordichte \({\mathfrak h}^{\alpha \beta},\) welche die Identitäten \(\frac {\partial {\mathfrak s}^h}{\partial x_h} =\frac {\partial {\mathfrak w}^h}{\partial x_h},\;{\mathfrak h}^{\alpha \beta} +{\mathfrak h}^{\beta\alpha} =0, \;{\mathfrak s}^i +\frac {\partial {\mathfrak h}^{\alpha i}}{\partial x_\alpha} ={\mathfrak w}^i\) erfüllen. \({\mathfrak s}^i\) ist die Viererdichte des Stroms, \({\mathfrak s}^{\alpha \beta}\) der Sechservektor des elektromagnetischen Feldes, so daß\ diese Identitäten, vermöge der Feldgleichungen \({\mathfrak w}^i = 0\) den Erhaltungssatz der Elektrizität \(\frac {\partial {\mathfrak s}^h}{\partial x^h} =0\) zur Folge haben. Im Kap. III führt der Verf. die Betrachtung für eine spezielle Form der Wirkungsdichte durch, indem er \[ {\mathfrak W} =- \frac 14F^2 \sqrt g +\beta l \] setzt, wo \(F\) die skalare Krümmung und \(l\) die einfachste aus den elektromagnetischen Feldstärken \(f^{ik}\) gebildete lineare skalare Invariante \[ l = \frac 14 f_{ik}f^{ik} \] ist. Die Durchführung der Rechnung ergibt dann die Gravitationsfeldgleichungen, mit dem Einsteinschen kosmologischen Glied, obwohl es nicht durch eine eigene Annahme eingeführt ist. Der Verf. leitet ferner aus dem zu der genannten Wirkungsfunktion gehörenden Energieimpulssatz durch Integration über die Weltröhre eines Massenelements die Bewegungsgleichungen geladener Massen im elektrischen Feld ab. Er diskutiert ferner im Anschluß\ an die Miesche Theorie das Problem der Materie, d. h. die Frage der Existenz solcher Felder, die dem einzelnen Elektron entsprechen. Schließlich bespricht er die möglichen Ansätze, die man für die Wirkungsdichte noch machen könnte.