Die Einführung eines vernunftgemäßen Koordinatensystems in die Einsteinsche Gravitationstheorie und das Gravitationsfeld einer schweren Kugel. (Q1467150)

In der Einsteinschen Theorie ist es möglich, daß\ durch die Wahl des Koordinatensystems Züge in die Darstellung kommen, die mit den Naturerscheinungen selbst nichts zu tun haben und durch geschicktere Wahl des Systems wieder zum Verschwinden gebracht werden können, wie z. B. Wellen; die keine Energie transportieren, u. a. Der Verf. schlägt daher vor, ein besonderes ``vernunftgemäßes'' System zu wählen, das möglichst viel von den Tatsachen und möglichst wenig willkürliches in die Darstellung bringt. Er geht zu diesem Zwecke von der Tatsache aus, daß\ die Maßbestimmung in einem Gravitationsfeld von der in einer Minkowskischen Welt, in der die spezielle Relativitätstheorie und die Euklidische Geometrie gilt, nur wenig abweicht. Man kann die vierdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit, durch die das Gravitationsfeld versinnbildlicht wird, immer in einen zehndimensionalen euklidischen Raum einbetten wie etwa eine krumme Fläche in einen dreidimensionalen Raum. Nun wird diese Riemannsche Mannigfaltigkeit sich aber so verhalten, wie eine Fläche, die von einer Ebene in weiten Gebieten nur sehr wenig abweicht und im Unendlichen sogar ganz mit ihr zusammenfällt. Der Verf. betrachtet analog eine vierdimensionale ``Hibertsche'' Mannigfaltigkeit, die nicht sehr von einer Minkowskischen abweicht. In ihr führt er eine Maßbestimmung ein, die, am ebenen Beispiel erklärt, so vor sich geht: Die Punkte der krummen Fläche werden orthogonal auf die Ebene projiziert und so die Flächen aufeinander abgebildet. In der Ebene (im allgemeinen Fall im Minkowskiraum) läßt sich eine natürliche Maßbestimmung im Sinne der speziellen Relativitätstheorie durchführen, und es werden dann jedem Punkt der Fläche (allgemein der Hilbertschen Mannigfaltigkeit) die Koordinaten des ihm entsprechenden Punktes der Ebene zugeschrieben. Dadurch ist ein Koordinatensystem ohne Willkür festgelegt. Der Verf. wendet diese allgemeine Vorschrift auf den Fall eines kugelsymmetrischen Feldes an. Schwarzschild hat für ein solches Feld bekanntlich den folgenden Ansatz gemacht: \(ds^2 = Fdtz^2- G(dx^2 + dy^2 + dz^2) - H(rdr)^2,\) wo die \(F, G, H\) Funktionen von \(r\) sind. Der Verf. zeigt nun, daß\ die verwendeten Koordinaten nur dann einem in seinem Sinn vernunftgemäßen System angehören, wenn \(G =1\) ist, weil nur dann ein Linienelement \(dt = dr = 0\) dieselbe Länge hat wie seine Projektion in den Minkowskiraum, unabhängig von seiner Lage in der Hilbertschen Mannigfaltigkeit, die wegen der Symmetrie hier nur durch \(r\) bestimmt ist. Während Schwarzschild \(G = \frac {1}{r^2}\root 3 \of {(r^3 +\alpha^3)^2}\) und für den maßgebenden Koeffizienten \(g_{44}\) den Wert \(1- \frac {\alpha}{\root 3\of {r^3 +\alpha^3}}\) findet, ergibt sich bei dem Verf. wegen \(G = 1\) der Wert \(\alpha = 0\) und \(g_{44}= 1- \frac \alpha r.\) Diesen Ausdruck für \(q_{44}\) hat auch Hilbert gefunden. Durch die vorliegende Arbeit des Verf. wird aber klargelegt, wodurch das von Hilbert benutzte Koordinatensystem ein ausgezeichnetes ist, während bei Schwarzschild die Wahl des Systems in dem Sinne willkürlich bleibt, daß\ \(\alpha\) jeden beliebigen Wert annehmen kann.