IX: L'analogo del potenziale logaritmico. (Q1467180)

Der Verf. betrachtet statische Gravitationsfelder, die nur von zwei räumlichen Koordinaten \(x_1, x_2\) abhängen. Die allgemeine Form des vierdimensionalen Linienelementes (s. die vorangehenden Mitteilungen gleichen Titels in Rom Acc. L. Rend. 1917 und 1918) \[ ds^2 =V^2 dt^2 - dl^2 \] spezialisiert der Verf. noch, indem er das dreidimensionale räumliche Linienelement aus einem zweidimensionalen in \(x_1, x_2\) und einem eindimensionalen in \(x_3\) orthogonal zusammensetzt. Er führt außerdem eine Hilfsgröße \(\nu\) durch \(V = V_0e^\nu\) (\(V_0\) eine Konstante) und ein neues dreidimensionales Element \(dl'\) durch \(dl^{\prime 2} = e^{2\nu}dl^2\) ein und setzt \(dl^{\prime 2} = d\sigma^2 + r^2 +r^2 dx_3^2,\) wo \(d\sigma\) ein binäres Linienelement in \(x_1, x_2,\) und \(r\) sowie \(\nu\) Funktionen von \(x_1\) und \(x_2\) sind. Wenn er für diesen Ausdruck von \(ds^2\) die in den früheren Mitteilungen abgeleiteten Feldgleichungen des statischen Gravitationsfeldes bildet, ergibt sich für \(r\) die Laplacesche Gleichung \(\Delta_2 r=0.\) Führen wir das zu \(r\) konjugierte Potential \(z\) ein, das also auch eine Funktion von \(x_l\) und \(x_2\) ist, dann läßt sich \(d\sigma^2\) in die isometrische Form \(d\sigma^2 = e^{2\lambda}(dr^2 + dz^2)\) bringen, wo \(\lambda\) wieder von \(x_1\) und \(x_2\) abhängt. An Stelle dieser zwei unabhängigen Veränderlichen können wir als solche auch \(r\) und \(z\) einführen. Dann ergeben die Feldgleichungen für \(\nu\) die Differentialgleichung: \( \frac 1r \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac {\partial v}{\partial r}\right) + \frac {\partial r^2\nu}{\partial z^2}= 0;\) \(\nu\) ist also ein symmetrisches Potential. Für \(\lambda\) ergibt sich, daß\ sein vollständiges Differential \[ d\lambda =r\left[\left(\frac {\partial \nu}{\partial r}\right)^2-\left(\frac {\partial \nu}{\partial z}\right)^2\right]dr +2r\frac {\partial\nu}{\partial r} \frac {\partial \nu}{\partial z}dz \] ist. In der denselben Gegenstand behandelnden Arbeit von H. Weyl (Ann. der Physik (4) 54, 117; F. d. M. 46, 1303 (JFM 46.1303.*), 1916-18) fehlt die letztere Gleichung. Jeder Lösung der Potentialgleichung für \(\nu\) entspricht also ein Wert von \(\lambda\) und ein Wert der Lichtgeschwindigkeit \(V = V_0e^{\nu(r, z)}.\) In Mitteilung IX behandelt der Verf. den Spezialfall des vorigen, wo das Feld nur von \(r\) (nicht aber von \(z\)) abhängt, den Fall eines Feldes, das nur von der Entfernung von einer Geraden abhängt. Das räumliche Linienelement wird dann \(dl^2 = e^{2(\lambda -\nu)}dr^2 + e^{-2\nu} r^2 dx_3^2,\) wo \(\lambda\) und \(\nu\) nur von \(r\) abhängen. Die geodätische Entfernung \(\varrho\) von der Achse ist dann : \(\varrho =\int_0^r s^{\lambda -nu} dr.\) Für \(\nu\) kann man dann einfach das logarithmische Potential setzen: \(\nu = h \log \frac{r}{r_0}, \) wo \(h\) und \(r_0\) Konstanten sind. Daraus ergibt sich \(\lambda = h^2\log \frac {r}{r_0}.\) Der Verf. berechnet, dann die Raumkrümmungen in dem so bestimmten Feld, insbesondere die Hauptkrümmungen und Krümmungslinien. Das statische Potential, das nach der allgemeinen Theorie des statischen Feldes durch \(- \frac 12V^2\) gegeben ist, nimmt in unserem Fall den Wert \(- \frac 12 V_0^2 \left( \frac {r}{r_0}\right)^{2h}\) an. Die Kraft ist dann radial gerichtet und hat den Wert \(V_0^2 \frac hn \frac 1\varrho \left( \frac {\varrho} {\varrho_0} \right)^{ \frac {2h}{n}},\) wo \(\varrho\) die geodätische Entfernung \(\varrho_0 = \frac {\lambda_0}n\) und \(n = h^2-h+1\) sind. Die Kraft ist also proportional der \(\left(-1 + \frac {2h}{n}\right)\)-ten Potenz der geodätischen Entfernung von der Achse. Bilden wir, wie in der Mitteilung I, die Näherung für schwache Felder, so entsteht genau dieselbe Formel für das Linienelement wie dort, nämlich \(ds^2 = V_0^2(1 + 2\nu) dt^2 - (1- 2\nu) dl_0^2,\) wo \(dl_0\) das euklidische räumliche Linienelement ist; nur ist \(\nu\) an Stelle des dortigen \(\gamma\) (der Abweichung des Potentials von 1) getreten. Daher ist \( \frac hn\) klein gegen 1, und unsere Kraftformel ist eine Korrektion des Kraftgesetzes der klassischen Mechanik für die Anziehung eines unendlich langen geradlinigen Zylinders.