Bilinear operations generating all operations rational in a domain \(\Omega\). (Q1467451)

Es sei \(l < k.\) Wir sagen, daß \[ f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, \varphi (y_1, \dots y_m), x_{k +1}, \dots,x_n) \] eine Zusammensetzung von \(f\) und \(\varphi\) und \(f f(x_1, x_2, \dots, x_{k-1}, x_l, x_{k +1}, \dots x_n)\) eine Kontraktion von \(f\) ist. Die Funktionen, die sich durch Kontraktion und Zusammensetzung von \(f\) erzeugen lassen, sollen Iterationen von \(f\) heißen. Der Verf. fragt, unter welchen Bedingungen die Gesamtheit aller Iterationen der ``bilinearen'' Funktion (Operation) \[ x\mid y = \frac {A + Bx + Cy + Dxy}{E+Fx+Gy+Hxz} \] mit der Gesamtheit aller rationalen Funktionen übereinstimmt. Er beweist, daß\ hierzu folgendes notwendig und hinreichend ist: Die Gleichung \(z = x\mid y\) läßt sich durch eine lineare Transformation von \(x, y,\) und \(z\) entweder in \[ \frac{x-y}{x +Ay} \text{oder in } \frac{y-x}{y +Ax} \] überführen, wo \(A\) rational und \(\neq -1,\) oder schließlich in \[ \frac {n(x - y + xy)}{ny + xy}, \] wo \(n\) eine ganze Zahl \( \neq 0\) ist.