Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. (Q1467473)

I. Ein ganzzahliges Polynom \(n\)-ten Grades ist im natürlichen Rationalitätsbereich sicher irreduzibel, wenn es an \(n\) verschiedenen ganzzahligen Stellen Werte annimmt, die dem Betrag nach sämtlich kleiner sind, als \((n- [n/2])! 2^{-n+[n/2]}.\) Es folgen ähnliche Sätze, ferner die Konstruktion eines ganzzahligen, primitiven, irreduziblen Polynoms vom \(n\)-ten Grade, das einen möglichst großen ständigen Teiler, nämlich \(n!,\) besitzt, usw. II. Entgegen einer Vermutung von M. Fekete wird mit Hilfe numerischer Rechnung und des Dirichletschen Satzes über die arithmetische Progression nachgewiesen, daß\ für unendlich viele Primzahlen \(p\) das mit den Legendreschen Symbolen gebildete Polynom \[ \left( \frac 1p\right) x +\left( \frac 2p\right) x^2 +\left( \frac 3p\right) x^3 +\cdots +\left( \frac {p-1}p \right) x^p \] Nullstellen im Intervall \(0 < x < 1\) besitzt. III. Empirische Beobachtung: die Anzahl derjenigen unter den Zahlen \(1, 2, 3, \dots, n,\) die eine gerade Anzahl von Primfaktoren haben, ist nicht größer als die Anzahl derjenigen, die eine ungerade Anzahl haben (für \(n \geqq 2).\) Gewisse \(n,\) für welche die beiden Anzahlen gleich sind, stehen mit imaginär-quadratischen Körpern von der Klassenzahl 1 in Beziehung.