On the representation of a number as the sum of any number of squares, and in particular of five. (Q1467475)

[Vgl. Nat. Acad. Proc. 4, 189--193 (1918; JFM 46.1443.05).] Die vom Verf., J. E. Littlewood und S. Ramanujan in zahlreichen hochinteressanten Arbeiten angewendete Methode wird hier benutzt, um einen neuen Zugang zu dem klassischen Problem der Darstellung einer Zahl als Summe von \(s\) Quadraten zu geben. Die Konstruktion der ``singular series'' geschieht in diesem Falle äußerst einfach. Es handelt sich um die Funktion \[ \vartheta^s =(1 +2q +2q^4 +2q^9 +\cdots)^s =\sum_{n =0}^\infty r_s(n)q^n. \] Es ist \[ \vartheta^s \sim \pi^{ \frac s2}\left( \frac {S_{h,k}}{k} \right)^s \left(\log \frac 1r\right)^{- \frac s2}, \] wenn \(q = re^{2\pi i \frac hk}\) und \(r \to 1.\) Hierbei ist \(h = 0\) für \(k =1\) und \(0 < h < k, h\) teilerfremd zu \(k,\) wenn \(k > 1.\) Es ist \[ S_{h,k} =\sum_{j =1}^k e^{2\pi i \frac hk j^2} \] und für \(S_{h, k}= 0\) ist die obige Äquivalenz durch \[ \vartheta^s =o\left(\log \frac 1r\right)^{- \frac s2} \] zu ersetzen. Diese Formeln führen auf die ``Vergleichsfunktion'' \[ \Theta_s =1 +\sum_{h,k} \frac {\pi^{ \frac s2}}{\Gamma \left( \frac s2\right)}\left( \frac {S_{h,k}}k\right)^s Fs\left(qe^{-2\pi i \frac hk}\right), \] wobei \[ F_s(x) =\sum_{n =1}^\infty n^{ \frac s2-1} x^n. \] Die Koeffizienten von \(\Theta_s\) \[ \varrho_s (n) =\sum_{h,k} \frac{\pi^{ \frac s2}n^{ \frac s2- 1}}{\Gamma \left( \frac s2\right)}\left( \frac{S_{h,k}}{k}\right)^s e^{-2n \pi i \frac hk} = \frac{\pi^{ \frac s2}n^{ \frac s2-1}}{\Gamma\left( \frac s2\right)}\sum_{k =1}^\infty A_k, \] sind die ``singular series'', wobei \[ A_1 = 1,\;A_k = k^{-s}\sum_h (S_{h,k})^s e^{-2n\pi i \frac hk}. \] Es wird nun für \(s = 3, 4, 5; 6, 7, 8\) die merkwürdige Tatsache gezeigt, daß\ diese Ausdrücke den genauen Wert der Darstellungen liefern, d. h. \[ \varrho_ s (n) = r_s(n). \] Dies wird für \(s = 8\) und \(s = 5\) direkt bewiesen. Im ersten Falle ergibt sich nach einer Umformung \[ \chi (\tau) = \frac {\pi^4}{96} \Theta_8(q) =\sum \frac {1}{(h-k\tau)^4},\;q =e^{\pi i\tau }, \;{\mathfrak J} (\tau) >0, \] wobei \(k = 1, 2, \dots\) und \(h\) sämtliche Zahlen von entgegengesetzter Parität wie \(k\) durchläuft, \((h, k) = 1.\) Die Identität von \(\chi\) mit \(\vartheta^s\) wird nach einer Methode von \textit{L. J. Mordell} [Q. J. Math. 48, 93--104 (1918; JFM 46.0263.01)] gezeigt, indem die Invarianz von \(\chi \vartheta^{-s}\) gegenüber den Substitutionen der Modulgruppe nachgewiesen wird. Weniger einfach gestaltet sich der Beweis für \(s=5.\) Für die anderen Werte von \(s\) sind die Beweise unterdrückt. Die Methode scheitert, wenn \(s = 2\) oder \(s > 8.\) Jetzt wendet sich Verf. dem allgemeinen Falle zu und berechnet \(S_{h, k}\) und \(A_{k}\) für Primzahlpotenzen, woraus der allgemeine Fall mit Hilfe einer Multiplikationsregel der \(A_k\) sich leicht ergibt. Diese Sätze werden nun angewendet, um für \(s = 8\) und \(s = 5\) zu den Sätzen von Jacobi, Eisenstein, Smith und Minkowski zu gelangen. In der Einleitung stellt der Verf. ein Verzeichnis der einschlägigen Literatur zusammen.