Report on the theory of the geometry of numbers. (Q1467496)

Ganz knapp (ohne Beweise) gehaltene Wiedergabe einiger Verbesserungen bekannter Minkowskischer Abschätzungen. I. Eine geschlossene, einfach zusammenhängende Fläche \(S\) um ein Volumen \(V\) im Raume von \(n\) Dimensionen kann durch passende einfache Translation in eine solche Lage gebracht werden, daß\ die Anzahl der Gitterpunkte in \(V\) und auf \(S\) insgesamt \(> V\) wird. II. Der kleinste Wert einer positiv definiten quadratischen Form \(f\) mit der Determinante \(D\) in einem Gitterpunkte \(\neq 0\) ist nicht nur \[ \leqq \frac 4\pi \left\{\Gamma\left( \frac n2 +1\right)\right\}^{ \frac 2n}D^{ \frac 1n}\;(\text{Minkowski}), \] sondern auch \[ \leqq \frac 2\pi\left\{\Gamma\left( \frac n2 +2\right)\right\}^{ \frac 2n}D^{ \frac 1n}; \] die genaue Schranke kann jedenfalls nicht kleiner ausfallen als \[ \frac 1\pi \left\{2\zeta (n) \Gamma \left( \frac n2 +1\right)\right\}^{ \frac 2n}D^{ \frac 1n}. \] III. Bei jeder Packung von Kugeln mit gleichen Radien in einem großen Raume \(V\) ist das Verhältnis des Volumens aller Kugeln zu \(V\) selbst \[ <\left( \frac n2 +1\right)2^{- \frac n2}. \]