Der circulus vitiosus in der heutigen Begründung der Analysis. (Q1467499)

Weyl legt hier die Leitgedanken seiner Schrift ``das Kontinuum'' (Leipzig 1918) nochmals in zusammenfassender Form dar. Aus der Rechtmäßigkeit eines Begriffes folgt noch nicht, daß\ er ``umfangsdefinit'' ist, d. h. daß\ die unter ihn fallenden Gegenstände zusammen als eine fertige, abgeschlossene Gesamtheit betrachtet werden können. Während der Begriff der ganzen Zahl (nach Weyl) umfangsdefinit ist, gilt dies von dem Begriff einer Menge von ganzen Zahlen jedenfalls nicht ohne weiteres. Da eine Menge, sofern sie nicht endlich ist, nur durch eine definierende Eigenschaft gegeben werden kann, so wird man auf den Begriff einer \textit{Eigenschaft} von ganzen Zahlen geführt. Dieser Begriff, im weitesten Sinne gefaßt, ist, wie sich zeigen läßt, nicht umfangsdefinit. Um die Analysis in ihrer heutigen Form streng zu begründen, mußte man eine solche Abgrenzung eines Bereiches von zulässigen definierenden Eigenschaften finden, daß\ einerseits dieser engere Eigenschaftsbegriff umfangsdefinit ist, und daß\ andrerseits die in der Analysis erforderlichen Konstruktionen möglich bleiben, oder -- was auf dasselbe hinauskommt --, daß\ ein dem Russellschen Axiom der Reduzierbarkeit entsprechender Satz gilt. Den Nachweis für die Möglichkeit einer solchen Abgrenzung zu versuchen, hält Weyl für ganz aussichtslos. Er zieht die Konsequenz, daß\ die Analysis in ihrer bestehenden Form nicht beibehalten werden kann, und begnügt sich mit einem engeren Formalismus, den er auf Grund einer gewissen umfangsdefiniten Festlegung des Begriffes der zulässigen definierenden Eigenschaft (für eine Menge) gewinnt. Da Weyl in seinen Ausführungen den Standpunkt der philosophischen Einsicht und des intuitiven Erfassens gegenüber demjenigen des bloßen Formalismus mit Nachdruck verficht, so muß\ es Verwunderung erregen, daß\ er nicht mit einem Worte die philosophisch naheliegende und verbreitete Auffass berücksichtigt, nach welcher die extensiven Größen einer Größengattung (z. B. Längen oder Flächeninhalte) eine Mannigfaltigkeit bilden, welche ebenso wie die Zahlenreihe als etwas Fertiges, Abgeschlossenes anschaulich erfaßbar ist, oder, kurz gesagt, die Auffassung, daß\ der Begriff der Maßgröße ebenso wie derjenige der Anzahl umfangsdefinit ist. Diese Ansicht, dergemäß\ die Analysis durch eine Vereinigung arithmetischer und geometrischer Evidenz zu begründen wäre, müßte immerhin einer Prüfung unterzogen werden, ehe man im Namen der Philosophie -- ohne daß\ irgend welche mathematischen Mißstände einen Anlaß\ böten -- der heutigen Analysis die Existenzberechtigung abspricht.