Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. VI. Abbildung mehrfach zusammenhängender schlichter Bereiche auf Kreisbereiche. Uniformisierung hyperelliptischer Kurven. (Iterationsmethoden). (Q1467571)

Weitere Fortsetzung der bekannten früheren Untersuchungen des Verf. zum gleichen Problemkreise. Die dort gewonnenen allgemeinen Ergebnisse befriedigen für den Fall symmetrischer Bereiche insofern noch nicht, als der Symmetrie dabei keine Rechnung getragen worden ist; hier werden nun vor allem die reicheren Gesetzmäßigkeiten des symmetrischen Falles mit Hilfe einer besonderen Iterationsmethode, bestehend in fortlaufender Anwendung passender Quadratwurzelausziehungen, herausgearbeitet, und die Resultate dann wieder für beliebige Bereiche verallgemeinert. Zunächst wird die -- keineswegs ohne weiteres sichtbare -- verborgene Symmetrie eines jeden dreifach zusammenhängenden schlichten Bereiches bewiesen (diese Symmetrie erscheint als selbstverständlich eret nach erfolgter Abbildung auf einen entsprechenden, von drei Vollkreisen begrenzten Bereich, deren Möglichkeit es eben zu zeigen gilt). Ohne Einschränkung der Allgemeinheit lassen sich die Begrenzungskontinuen \(L_1, L_2, L_3\) des Bereiches als geschlossene reguläre analytische Linien annehmen; man lege die Querschnitte \(Q_1 = L_2L_3, Q_2 = L_3L_1,\) und bilde die Überlagerungsfläche \(B^{(\infty)}\) des so gewonnenen einfach zusammenhängenden Bereiches \(B_0\equiv B^{(0)},\) indem man fortlaufend an jede Querschnittseite ein Neuexemplar von \(B^{(0)}\) anheftet; \(B^{(\infty)}\) wird dann durch eine reguläre Funktion \(\zeta =\varphi(z)\) auf den Einheitskreis abgebildet, und diese einunendlichvieldeutige Fundamentalabbildung läßt sich nun topologisch wie gruppentheoretisch genau beherrschen; insbesondere erweist es sich als möglich, den Grundbereich \(B\) eineindeutig konform auf einen von drei getrennten Schlitzen auf der Achse des Reellen gebildeten Bereich \(B'\) abzubilden, und diese Abbildung ist im wesentlichen, d. h. bis auf reelle lineare Transformationen, eindeutig bestimmt. Auf einen solchen Schlitzbereich mit \(m\) Ausschnitten auf der Achse des Reellen läßt sich natürlich jeder \(m\)-fach zusammenhängende symmetrische schlichte Bereich \(B\) zurückführen; bei der Abbildung auf einen Vollkreisbereich \(B'\) gehen dann die \(m\) Schlitze in die Symmetrielinien von \(B'\) über; auch diese Abbildung ist im wesentlichen eindeutig bestimmt, und sie kann auch durch eine Folge von reellen Wurzeloperationen geleistet werden -- es steht dies in direktem Zusammenhang mit der Reelluniformisierung reeller hyperelliptischer Kurven von beliebigem Geschlecht \(p,\) für die man \[ w^2 = (z- a_1) \cdots (z - a_{2p+2}) \] zugrunde legen kann. Topologisch besteht nun das Iterationsverfahren aus folgenden Schritten. In der schlichten \(z\)-Ebene \(F\) werden symmetrisch zur Achse des Reellen bzw. auf derselben \(p +1\) begrenzte Trennungslinien \(\lambda\) durch alle Verzweigungspunkte gelegt: \(\lambda_1, \dots, \lambda_{p+1};\) man schneide \(F\) etwa längs \(\lambda_1\) auf und hefte ein zweites Exemplar der so entstandenen Fläche \(F{(0)}\) an \(\lambda_1\) mit \(F{(0)}\) überkreuz zusammen; auf der so entstandenen \(F{(1)}\) markiere man die übrigen \(p \lambda\)-Linien als \(\lambda_{p +2}, \dots, \lambda_{2p +1};\) nun werde das gleiche Verfahren längs einer der noch intakten Linien, etwa \(\lambda_2,\) wiederholt usf., wobei jede der erhaltenen Linien einmal herankommen muß; \(F^{(\infty)} = \lim_{n =\infty}F^{(n)}\) ist dann tatsächlich die Riemannsche Fläche (von unendlich hohem Zusammenhange) für die gesuchte reell uniformisierende Variable \(\zeta =\zeta (z)\) des gesamten hyperelliptischen Gebildes \((z, w).\) Das gegebene topologische Verfahren (jeweilige Auflösung einer \(\lambda\)- Linie mittels einer Quadratwurzeloperation) läßt sich auch direkt rechnerisch verfolgen und seine Konvergenz mittels der Koebeschen Verzerrungssätze beweisen; zugleich läßt sich so der jeweilig nach endlichvielen Schritten verbleibende Fehler abschätzen. Soll nun ein \textit{beliebiger} \(m\)-fach zusammenhängender Bereich \(B\) auf einen von lauter Vollkreisen begrenzten (unbekannten) Bereich \(B'\) abgebildet werden, wobei zur Fixierung \(z = \infty\) als innerer Punkt und in seiner Nähe für die Abbildungsfunktion \[ f(z) = z + ((0)) \] vorgeschrieben wird, so kann ein analoges Iterationsverfahren angewandt werden, bei dem die \textit{Spiegelungsfähigkeit} der verwandelten Bereiche immer mehr erhöht wird. Sobald nämlich ein Bereich unbegrenzt spiegelungsfähig ist, d. h. durch fortgesetzte analytische Spiegelung an den Rändern allseitig schlicht bleibt, müssen seine ursprünglichen Ränder notwendig \textit{Kreise} sein (S. 286-288). Die ohne Einschränkung der Allgemeinheit als reguläranalytisch anzunehmenden Begrenzungslinien des gegebenen Bereiches \(B\) seien \(L_1, \dots, L_m; L_1\) darf bereits, nach erstmaligen Ansatz \(z_1=f_1(z) =z+ ((0)),\) als Kreis angenommen werden; an diesem ersten Kreise spiegele man den betrachteten Bereich, worauf insgesamt \(2m-2\) neue Begrenzungslinien entstehen werden: \(L_1^{(1)} = L_2, \dots, L_{2m-2}^{(1)}.\). Das Äußere von \(L_1^{(1)}\) werde (wieder mit der vorgeschriebenen Normierung) auf das Äußere eines Kreises durch eine Funktion \(z_2 = f_2(z_1) = z_1 + ((0))\) abgebildet; die Spiegelung an diesem zweiten Kreise ergibt insgesamt \(4m - 6\) neue Begrenzungslinien \(L_1^{(2)} = L_3, \dots, L_{4m-6},\) und nun verfährt man ebenso wieder ins Unbegrenzte. Der Konvergenzbeweis wird durch entsprechenden Ausbau der Verzerrungssätze gewonnen, wieder zugleich mit der Fehlerabschätzung nach endlichvielen Schritten. Ist so die sinngemäße Übertragung der symmetrischen Iterationsmethode auf beliebige Bereiche endlichen Zusammenhangs gelungen, so läßt sich entsprechend auch die Uniformisierung \textit{nicht} reeller hyperelliptischer Kurven analog wie im reellen Falle durch Iteration elementarer Wurzeloporationen durchführen; die \(p +1\) Verbindungslinien \(\lambda_1 \dots, \lambda_{p+1}\) werden jetzt beliebig sein und sich nur gegenseitig nicht treffen dürfen. Anstelle der einfachen Verzweigungspunkte für die Uniformisierende \(\zeta =\zeta (z)\) können dabei auch solche von höherer Ordnung \(\nu_\alpha -1\) für die einzelnen \(\lambda_\alpha\) verlangt werden (Schottkyscher Sicheltypus); die zweieckigen Begrenzungslinien der Abbildung sind dann durch elliptische Substitutionen von der Periode \(\nu_\alpha\) auf sich selbst bezogen; für die Iteration sind hier nur jeweilig die \(\nu_\alpha\)-ten Wurzeln statt der Quadratwurzeln heranzuziehen.